Teste a série quanto a convergência ou divergência.
13. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr)^{n}.
O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz, que verifica o limite
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|},
onde a_{n}=(\tfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+1})^{n}.

Passo 2

Segundo o teste da raiz, se L<1,
a série converge absolutamente; se L>1,
ela diverge; e se L=1,
o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos calcular \sqrt[n]{|a_{n}|}.

Passo 3

Temos
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|}=\sqrt[n]{\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr)^{n}} =\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}.
Agora avaliamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Como L=\tfrac12<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge absolutamente (pela raiz, L=\tfrac12<1).

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