Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
Informações relevantes que temos imediatamente:
- A soma começa em
. - Para todo
temos , portanto cada termo é positivo. - Precisamos decidir se a série de termos positivos converge ou diverge.
Passo 2
Vou escolher um método de comparação com séries do tipo
(as chamadas p-séries). Antes disso, experimento rapidamente o teste da raiz (um teste padrão para séries com potências) para ver se ele é conclusivo — muitas vezes ele resolve rápido e vale a pena checar.
O teste da raiz pede calcular
Se esse limite for menor que
, a série converge; se for maior que
, diverge; se for igual a
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calculo a
-ésima raiz de
:
É útil escrever isso com exponencial:
Observe o expoente
Como
quando
e
cresce muito lentamente (mas só polilogaritmicamente), o produto
. Portanto
Conclusão: o teste da raiz é inconclusivo (o limite é
). Por isso precisamos tentar outro método.
Passo 4
Faço uma reescrita algébrica que deixa a forma da sequência mais clara. Uso propriedades de log e exponencial:
Agora uso a identidade
quando conveniente. Em particular,
Assim
Essa forma é muito intuitiva: é como uma p-série
, porém o expoente
depende de
e é
.
Passo 5
Agora analiso o comportamento de
. Quando
temos
e portanto
. Ou seja, o expoente
tende para infinito — cada termo é como
com
crescentemente grande.
Para aplicar comparação, escolho um expoente fixo
(qualquer
funciona). Quero mostrar que, a partir de algum
, vale
A desigualdade
implica exatamente
(explico isso no próximo passo). Agora resolvo
:
Logo, tomando
, para todo
vale
, e assim
.
Passo 6
Justifico por que
quando
. Para
a função
é decrescente em
. Logo se
então
Portanto, a partir de
escolhido, os termos da nossa série são majorados termo a termo pelos termos da série
.
Passo 7
Recordo o teste conhecido da p-série: a série
converge se, e somente se,
. Uma justificativa simples é pelo teste da integral:
converge se
(dá
), e diverge se
. Em particular,
converge.
Agora aplico o teste da comparação (para séries de termos positivos): como para todo
temos
e
converge, então
também converge. A parte inicial finita
é finita, logo somando tudo a série completa
converge.
Passo 8
Resumo didático do argumento (curto e direto):
- Reescrevemos
. - Como
, existe tal que para todo . - Para tais
temos . - Como
converge (p-série com ), a série original converge por comparação (séries de termos positivos).
Resposta
A série converge.