Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}.
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • A soma começa em n=2.
  • Para todo n\ge 2 temos \ln n>0, portanto cada termo \dfrac{1}{(\ln n)^{\ln n}} é positivo.
  • Precisamos decidir se a série de termos positivos converge ou diverge.

Passo 2

Vou escolher um método de comparação com séries do tipo \sum n^{-p} (as chamadas p-séries). Antes disso, experimento rapidamente o teste da raiz (um teste padrão para séries com potências) para ver se ele é conclusivo — muitas vezes ele resolve rápido e vale a pena checar.
O teste da raiz pede calcular
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n},\qquad a_n=\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}.
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculo a n-ésima raiz de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \left(\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\right)^{1/n} = (\ln n)^{-\frac{\ln n}{n}}.
É útil escrever isso com exponencial:
(\ln n)^{-\frac{\ln n}{n}} = \exp\!\left(-\frac{\ln n}{n}\cdot \ln(\ln n)\right).
Observe o expoente
-\frac{\ln n}{n}\cdot \ln(\ln n).
Como \displaystyle \frac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty e \ln(\ln n) cresce muito lentamente (mas só polilogaritmicamente), o produto \displaystyle \frac{\ln n}{n}\cdot \ln(\ln n)\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \exp(0)=1.
Conclusão: o teste da raiz é inconclusivo (o limite é 1). Por isso precisamos tentar outro método.

Passo 4

Faço uma reescrita algébrica que deixa a forma da sequência mais clara. Uso propriedades de log e exponencial:
\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} = \exp\big(-\ln n\cdot \ln(\ln n)\big).
Agora uso a identidade \exp(\ln n \cdot c)=n^{c} quando conveniente. Em particular,
\exp\big(-\ln n\cdot \ln(\ln n)\big) = n^{-\ln(\ln n)}.
Assim
a_n = \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} = n^{-\ln(\ln n)}.
Essa forma é muito intuitiva: é como uma p-série \dfrac{1}{n^{p}}, porém o expoente p depende de n e é p_n=\ln(\ln n).

Passo 5

Agora analiso o comportamento de p_n=\ln(\ln n). Quando n\to\infty temos \ln n\to\infty e portanto \ln(\ln n)\to\infty. Ou seja, o expoente p_n tende para infinito — cada termo é como 1/n^{p_n} com p_n crescentemente grande.
Para aplicar comparação, escolho um expoente fixo p=2 (qualquer p>1 funciona). Quero mostrar que, a partir de algum N, vale
a_n = n^{-\ln(\ln n)} \le n^{-2}\quad\text{para todo } n\ge N.
A desigualdade \ln(\ln n)\ge 2 implica exatamente n^{-\ln(\ln n)}\le n^{-2} (explico isso no próximo passo). Agora resolvo \ln(\ln n)\ge 2:
\ln(\ln n)\ge 2 \iff \ln n \ge e^{2} \iff n \ge e^{e^{2}}.
Logo, tomando N=\left\lceil e^{e^{2}}\right\rceil, para todo n\ge N vale \ln(\ln n)\ge 2, e assim a_n\le n^{-2}.

Passo 6

Justifico por que a_n\le n^{-2} quando \ln(\ln n)\ge 2. Para n>1 a função a\mapsto n^{-a} é decrescente em a. Logo se \ln(\ln n)\ge 2 então
n^{-\ln(\ln n)} \le n^{-2}.
Portanto, a partir de N escolhido, os termos da nossa série são majorados termo a termo pelos termos da série \sum_{n=N}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 7

Recordo o teste conhecido da p-série: a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Uma justificativa simples é pelo teste da integral: \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge se p>1 (dá \frac{1}{p-1}), e diverge se p\le 1. Em particular, \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge.
Agora aplico o teste da comparação (para séries de termos positivos): como para todo n\ge N temos
0\le a_n \le \frac{1}{n^{2}}
e \sum_{n=N}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge, então \sum_{n=N}^{\infty} a_n também converge. A parte inicial finita \sum_{n=2}^{N-1} a_n é finita, logo somando tudo a série completa \sum_{n=2}^{\infty} a_n converge.

Passo 8

Resumo didático do argumento (curto e direto):
  • Reescrevemos a_n=\dfrac{1}{(\ln n)^{\ln n}}=n^{-\ln(\ln n)}.
  • Como \ln(\ln n)\to\infty, existe N tal que \ln(\ln n)\ge 2 para todo n\ge N.
  • Para tais n temos a_n\le n^{-2}.
  • Como \sum n^{-2} converge (p-série com p=2>1), a série original converge por comparação (séries de termos positivos).

Resposta

A série converge.

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