\text { (a) } k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \text {; (b) } m=1,39 \mathrm{~kg} \text {; \text{(c)} } f \approx 1,91 \mathrm{~Hz} \text {. }
  1. Um objeto de 5,00 \mathrm{~kg} que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k=10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O objeto é deslocado horizontalmente 70,7 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção da posição de equilíbrio. Determine (a) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (b) a energia cinética inicial e (c) a amplitude do movimento.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=5{,}00\:\mathrm{kg} preso a uma mola de constante elástica k=10\:\mathrm{N/m}, deslocado de x_0=0{,}707\:\mathrm{m} da posição de equilíbrio e com velocidade inicial v_0=1{,}0\:\mathrm{m/s} na direção da posição de equilíbrio. Vamos usar os conceitos de energia potencial elástica, energia cinética e conservação da energia mecânica em movimento harmônico simples.

Passo 2

A energia potencial elástica inicial é dada por
U = \frac12\,k\,x_0^2.
Substituindo k=10\:\mathrm{N/m} e x_0=0{,}707\:\mathrm{m},
U = \frac12\cdot10\cdot(0{,}707)^2 =5\cdot0{,}5 =2{,}5\:\mathrm{J}.

Passo 3

A energia cinética inicial é
K = \frac12\,m\,v_0^2.
Com m=5{,}00\:\mathrm{kg} e v_0=1{,}0\:\mathrm{m/s},
K = \frac12\cdot5{,}00\cdot(1{,}0)^2 =2{,}5\:\mathrm{J}.

Passo 4

Como não há atrito, a energia mecânica total E se conserva:
E = U + K = 2{,}5 + 2{,}5 =5{,}0\:\mathrm{J}.
No ponto de amplitude A toda essa energia é potencial elástica, ou seja
E = \frac12\,k\,A^2.
Isolando A,
A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot5{,}0}{10}} =1{,}00\:\mathrm{m}.

Resposta

(a) 2{,}5\:\mathrm{J}
(b) 2{,}5\:\mathrm{J}
(c) 1{,}00\:\mathrm{m}

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