2 { }^{\text {a }} ) (2) Uma haste de seção circular com seu eixo orientado segundo o eixo \mathbf{x}_{3} sofre um ligeiro tombamento de modo que seus deslocamentos, considerado um certo \Psi constante, ficam dados por:
Encontre as componentes dos tensores de deformação e rotação infinitesimais.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de deslocamentos (para um certo \psi constante) e pede as componentes dos tensores de deformação infinitesimal e de rotação infinitesimal. Dados e pedidos:
Aqui \varepsilon_{ij} é a componente (i,j) do tensor de deformação; u_i é a componente i do vetor deslocamento; \partial u_i/\partial x_j é a derivada parcial de u_i em relação à coordenada x_j.
O tensor de rotação infinitesimal é a parte antissimétrica do gradiente de deslocamento:
Agora aplicamos a fórmula da deformação \varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(\partial u_{i}/\partial x_{j}+\partial u_{j}/\partial x_{i}). Calculamos componente a componente, com desenvolvimento passo a passo:
Interpretação rápida: não há alongamentos puros (diagonais zero), há apenas cisalhamentos \varepsilon_{13} e \varepsilon_{23}.]
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da rotação \omega_{ij}=\tfrac{1}{2}(\partial u_{i}/\partial x_{j}-\partial u_{j}/\partial x_{i}). Novamente componente a componente (note que \omega_{ij}=-\omega_{ji} e \omega_{ii}=0):
Os elementos de \omega_{ij} estão relacionados a \boldsymbol{\varphi} por \omega_{ij}=-\varepsilon_{ijk}\varphi_{k} (onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita). Isso confirma consistência entre as duas representações.