2 { }^{\text {a }} ) (2) Uma haste de seção circular com seu eixo orientado segundo o eixo \mathbf{x}_{3} sofre um ligeiro tombamento de modo que seus deslocamentos, considerado um certo \Psi constante, ficam dados por:
u_{1}=-\psi x_{2} x_{3}, \quad u_{2}=\psi x_{1} x_{3}, \quad u_{3}=0
Encontre as componentes dos tensores de deformação e rotação infinitesimais.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de deslocamentos (para um certo \psi constante) e pede as componentes dos tensores de deformação infinitesimal e de rotação infinitesimal. Dados e pedidos:
  • Dados:
u_{1} = -\psi x_{2} x_{3},\qquad u_{2} = \psi x_{1} x_{3},\qquad u_{3} = 0,
com \psi constante e (x_{1},x_{2},x_{3}) coordenadas espaciais.
  • Pedido: encontrar todas as componentes do tensor de deformação infinitesimal \varepsilon_{ij} e do tensor de rotação infinitesimal \omega_{ij}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as fórmulas que definem esses tensores (essas fórmulas são padrão para pequenas deformações):
  • O tensor de deformação infinitesimal é a parte simétrica do gradiente de deslocamento:
\varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right).
Aqui \varepsilon_{ij} é a componente (i,j) do tensor de deformação; u_i é a componente i do vetor deslocamento; \partial u_i/\partial x_j é a derivada parcial de u_i em relação à coordenada x_j.
  • O tensor de rotação infinitesimal é a parte antissimétrica do gradiente de deslocamento:
\omega_{ij}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right).
Aqui \omega_{ij}=-\omega_{ji}. Esse tensor mede a rotação infinitesimal local (a parte que não é deformação).
Vamos então calcular o gradiente de u e depois aplicar essas fórmulas.

Passo 3

Calcular todas as derivadas parciais \partial u_i/\partial x_j. Como \psi é constante, tratamos \psi como multiplicador:
  • Para u_{1}=-\psi x_{2}x_{3}:
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}=0,\qquad \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}=-\psi x_{3},\qquad \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}=-\psi x_{2}.
  • Para u_{2}=\psi x_{1}x_{3}:
\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}=\psi x_{3},\qquad \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}=0,\qquad \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}=\psi x_{1}.
  • Para u_{3}=0:
\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}}=0,\qquad \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{2}}=0,\qquad \frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}=0.
Portanto a matriz do gradiente \left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right) é
\begin{pmatrix} 0 & -\psi x_{3} & -\psi x_{2}\\[4pt] \psi x_{3} & 0 & \psi x_{1}\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da deformação \varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(\partial u_{i}/\partial x_{j}+\partial u_{j}/\partial x_{i}). Calculamos componente a componente, com desenvolvimento passo a passo:
  • Componentes diagonais:
\varepsilon_{11}=\tfrac{1}{2}(0+0)=0,\qquad \varepsilon_{22}=\tfrac{1}{2}(0+0)=0,\qquad \varepsilon_{33}=\tfrac{1}{2}(0+0)=0.
  • Componentes fora da diagonal (simétricas, \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}):
\varepsilon_{12}=\tfrac{1}{2}\big((- \psi x_{3})+(\psi x_{3})\big)=0.
\varepsilon_{13}=\tfrac{1}{2}\big((- \psi x_{2})+0\big)=-\tfrac{1}{2}\psi x_{2}.
\varepsilon_{23}=\tfrac{1}{2}\big((\psi x_{1})+0\big)=\tfrac{1}{2}\psi x_{1}.
Logo a matriz-simétrica do tensor de deformação é
\varepsilon_{ij}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\tfrac{1}{2}\psi x_{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\psi x_{1}\\[4pt] -\tfrac{1}{2}\psi x_{2} & \tfrac{1}{2}\psi x_{1} & 0 \end{pmatrix}.
Interpretação rápida: não há alongamentos puros (diagonais zero), há apenas cisalhamentos \varepsilon_{13} e \varepsilon_{23}.]

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da rotação \omega_{ij}=\tfrac{1}{2}(\partial u_{i}/\partial x_{j}-\partial u_{j}/\partial x_{i}). Novamente componente a componente (note que \omega_{ij}=-\omega_{ji} e \omega_{ii}=0):
  • Diagonais:
\omega_{11}=\omega_{22}=\omega_{33}=0.
  • Componentes antissimétricas:
\omega_{12}=\tfrac{1}{2}\big((- \psi x_{3})-(\psi x_{3})\big)=-\psi x_{3},
\omega_{13}=\tfrac{1}{2}\big((- \psi x_{2})-0\big)=-\tfrac{1}{2}\psi x_{2},
\omega_{23}=\tfrac{1}{2}\big((\psi x_{1})-0\big)=\tfrac{1}{2}\psi x_{1}.
E pelas propriedades antissimétricas:
\omega_{21}=-\omega_{12}=\psi x_{3},\qquad \omega_{31}=-\omega_{13}=\tfrac{1}{2}\psi x_{2},\qquad \omega_{32}=-\omega_{23}=-\tfrac{1}{2}\psi x_{1}.
A matriz antissimétrica é
\omega_{ij}= \begin{pmatrix} 0 & -\psi x_{3} & -\tfrac{1}{2}\psi x_{2}\\[4pt] \psi x_{3} & 0 & \tfrac{1}{2}\psi x_{1}\\[4pt] \tfrac{1}{2}\psi x_{2} & -\tfrac{1}{2}\psi x_{1} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Como informação adicional útil (para fixar a intuição): a “vetor rotação” local \boldsymbol{\varphi} é metade do rotacional de \mathbf{u},
\boldsymbol{\varphi}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\mathbf{u},
e calculando \nabla\times\mathbf{u} obtemos
\nabla\times\mathbf{u}=(-\psi x_{1},\,-\psi x_{2},\,2\psi x_{3}),
portanto
\boldsymbol{\varphi}=\left(-\tfrac{1}{2}\psi x_{1},\,-\tfrac{1}{2}\psi x_{2},\,\psi x_{3}\right).
Os elementos de \omega_{ij} estão relacionados a \boldsymbol{\varphi} por \omega_{ij}=-\varepsilon_{ijk}\varphi_{k} (onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita). Isso confirma consistência entre as duas representações.

Resposta

\varepsilon_{ij}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\tfrac{1}{2}\psi x_{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\psi x_{1}\\[4pt] -\tfrac{1}{2}\psi x_{2} & \tfrac{1}{2}\psi x_{1} & 0 \end{pmatrix},
\omega_{ij}= \begin{pmatrix} 0 & -\psi x_{3} & -\tfrac{1}{2}\psi x_{2}\\[4pt] \psi x_{3} & 0 & \tfrac{1}{2}\psi x_{1}\\[4pt] \tfrac{1}{2}\psi x_{2} & -\tfrac{1}{2}\psi x_{1} & 0 \end{pmatrix}.]

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