Dado o tensor de deformações infinitesimais abaixo, determine
a distorção máxima indicando o plano em que ela ocorre
[\varepsilon]=10^{-3} \times\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o tensor de deformações infinitesimais
[\varepsilon]=10^{-3}\times\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0\end{bmatrix}
e pede a distorção máxima (isto é, a maior componente de cisalhamento associada à deformação) e o plano em que ela ocorre. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O tensor é simétrico (elementos fora da diagonal são iguais nos pares simétricos).
  • Devemos encontrar os autovalores (deformações principais) e os autovetores (direções principais), pois a distorção máxima em tensões/deformações isotrópicas pequenas é obtida a partir das maiores e menores deformações principais.
  • O fator global 10^{-3} deve ser levado em conta no resultado numérico.]

Passo 2

Conceito necessário (aula rápida e prática): para um tensor de deformação simétrico [\varepsilon] as deformações principais \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3 são os autovalores da matriz. A máxima distorção por cisalhamento (no sentido usual) é
\text{distorção máxima}=\frac{\varepsilon_{\max}-\varepsilon_{\min}}{2}.çãá
Explicando: \varepsilon_{\max} é o maior autovalor e \varepsilon_{\min} o menor; a diferença entre eles mede a amplitude de variação normal e metade disso é a máxima componente de cisalhamento (para pequenas deformações). Então precisamos achar os autovalores da matriz (sem o fator 10^{-3}), depois multiplicá-los por 10^{-3}.

Passo 3

Calcular os autovalores da matriz sem o fator 10^{-3}:
A=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0\end{bmatrix}.
Escrevemos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Montando a determinante:
\det\begin{bmatrix}-\lambda & 0 & -1\\[4pt] 0 & -\lambda & 1\\[4pt] -1 & 1 & -\lambda\end{bmatrix} = -\lambda(\lambda^{2}-1)+\lambda = -\lambda^{3}+2\lambda.
Igualando a zero:
-\lambda^{3}+2\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda(-\lambda^{2}+2)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_1=0,\qquad \lambda_{2}=\sqrt{2},\qquad \lambda_{3}=-\sqrt{2}.
Como a matriz original tem o fator 10^{-3}, as deformações principais são
\varepsilon_1=0\times10^{-3}=0,\qquad \varepsilon_2=\sqrt{2}\times10^{-3},\qquad \varepsilon_3=-\sqrt{2}\times10^{-3}.]

Passo 4

Aplicando a fórmula da distorção máxima:
\text{distorção máxima}=\frac{\varepsilon_{\max}-\varepsilon_{\min}}{2} =\frac{\sqrt{2}\times10^{-3}-(-\sqrt{2}\times10^{-3})}{2} =\sqrt{2}\times10^{-3}.çãá
Num valor numérico aproximado (usando vírgula decimal):
\text{distorção máxima}\approx 1{,}414\times10^{-3}.çãá
Comentário didático: é curioso que aqui a máxima distorção coincide em módulo com o maior valor próprio dividido por 1 — isso acontece porque os autovalores são simétricos em torno de zero ( \pm\sqrt{2}\times10^{-3}).

Passo 5

Agora precisamos indicar o(s) plano(s) onde a distorção máxima ocorre. Teoria curta e prática: a máxima componente de cisalhamento entre as direções principais \varepsilon_2 e \varepsilon_3 ocorre em planos cujas normais são as combinações unitárias
\mathbf{n}_{\pm}=\frac{\mathbf{e}_2\pm\mathbf{e}_3}{\sqrt{2}},
onde \mathbf{e}_2 e \mathbf{e}_3 são os autovetores associados a \varepsilon_2 (maior) e \varepsilon_3 (menor). Vamos obter esses autovetores.

Passo 6

Calculamos os autovetores da matriz A (sem o fator 10^{-3}):
  • Para \lambda=\sqrt{2} (maior autovalor) um autovetor é proporcional a
\mathbf{e}_2 \propto \begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]-\sqrt{2}\end{bmatrix}.
  • Para \lambda=0 (autovalor intermediário) um autovetor é proporcional a
\mathbf{e}_1 \propto \begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{bmatrix}.
  • Para \lambda=-\sqrt{2} (menor autovalor) um autovetor é proporcional a
\mathbf{e}_3 \propto \begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]\sqrt{2}\end{bmatrix}.
(Verificação rápida: os vetores acima satisfazem (A-\lambda I)\mathbf{e}=0.)]

Passo 7

Formamos as combinações \mathbf{e}_2\pm\mathbf{e}_3:
\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3 \propto \begin{bmatrix}2\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{bmatrix}\propto\begin{bmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{bmatrix},
\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3 \propto \begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]-2\sqrt{2}\end{bmatrix}\propto\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{bmatrix}.
Ou seja, as normais (direções das \mathbf{n}_{\pm}) são, até normalização:
\mathbf{n}_1\propto (1,-1,0),\qquad \mathbf{n}_2\propto (0,0,1).
Interpretação geométrica simples: uma das normais está alinhada com o eixo z (ou seja, o plano é o plano xy), e a outra normal está no plano xy na direção (1,-1,0) (ou seja, o plano é perpendicular a essa direção — é o plano que contém o vetor (1,1,0) e o eixo z). Esses são os dois planos onde a componente de cisalhamento atinge a magnitude máxima \sqrt{2}\times10^{-3}.]

Resposta

\text{Distorção máxima}=\sqrt{2}\times10^{-3}\approx 1{,}414\times10^{-3}.çãá
Planos onde ocorre: planos cujas normais são proporcionais a (0,0,1) e a (1,-1,0) (ou, normalizadas, \frac{1}{1}(0,0,1) e \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)).

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