e pede a distorção máxima (isto é, a maior componente de cisalhamento associada à deformação) e o plano em que ela ocorre. Informações relevantes extraídas do enunciado:
O tensor é simétrico (elementos fora da diagonal são iguais nos pares simétricos).
Devemos encontrar os autovalores (deformações principais) e os autovetores (direções principais), pois a distorção máxima em tensões/deformações isotrópicas pequenas é obtida a partir das maiores e menores deformações principais.
O fator global 10^{-3} deve ser levado em conta no resultado numérico.]
Passo 2
Conceito necessário (aula rápida e prática): para um tensor de deformação simétrico [\varepsilon] as deformações principais \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3 são os autovalores da matriz. A máxima distorção por cisalhamento (no sentido usual) é
Explicando: \varepsilon_{\max} é o maior autovalor e \varepsilon_{\min} o menor; a diferença entre eles mede a amplitude de variação normal e metade disso é a máxima componente de cisalhamento (para pequenas deformações). Então precisamos achar os autovalores da matriz (sem o fator 10^{-3}), depois multiplicá-los por 10^{-3}.
Passo 3
Calcular os autovalores da matriz sem o fator 10^{-3}:
Comentário didático: é curioso que aqui a máxima distorção coincide em módulo com o maior valor próprio dividido por 1 — isso acontece porque os autovalores são simétricos em torno de zero (\pm\sqrt{2}\times10^{-3}).
Passo 5
Agora precisamos indicar o(s) plano(s) onde a distorção máxima ocorre. Teoria curta e prática: a máxima componente de cisalhamento entre as direções principais \varepsilon_2 e \varepsilon_3 ocorre em planos cujas normais são as combinações unitárias
Interpretação geométrica simples: uma das normais está alinhada com o eixo z (ou seja, o plano é o plano xy), e a outra normal está no plano xy na direção (1,-1,0) (ou seja, o plano é perpendicular a essa direção — é o plano que contém o vetor (1,1,0) e o eixo z). Esses são os dois planos onde a componente de cisalhamento atinge a magnitude máxima \sqrt{2}\times10^{-3}.]
Resposta
\text{Distorção máxima}=\sqrt{2}\times10^{-3}\approx 1{,}414\times10^{-3}.çãá
Planos onde ocorre: planos cujas normais são proporcionais a (0,0,1) e a (1,-1,0) (ou, normalizadas, \frac{1}{1}(0,0,1) e \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)).