Questão: Determine o comprimento do cabo
de modo que
e que a mola
permaneça horizontal. O comprimento livre de
é
e a luminária tem uma massa
.
Adotar
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos (alguns peguei da imagem enviada).
O que o enunciado pede:
- Determinar o comprimento do cabo
de modo que o ângulo em seja e que a mola permaneça horizontal, em equilíbrio estático.
Dados fornecidos (peguei estes valores da figura/enunciado):
- comprimento livre (comprimento natural) da mola:
. - distância horizontal entre os apoios na parede (entre
e parede à direita): . - constante elástica da mola:
. - massa da luminária:
. - gravidade:
. - ângulo desejado:
.
O que vamos determinar:
- comprimento
(comprimento do cabo entre o ponto fixo na parede e o ponto ).
Passo 2
Análise das forças em
e equilíbrio: montar o diagrama de corpo livre (explicando cada termo).
Em
atuam três forças em equilíbrio:
- a tensão do cabo
, chamada , cujo sentido em é para cima e para a esquerda, fazendo ângulo com a horizontal; - a força da mola
, horizontal para a direita, módulo ; - o peso da luminária, vertical para baixo, módulo
.
Como o ponto
está em equilíbrio estático, a soma vetorial das forças é nula. Separando componentes horizontal e vertical obtemos as equações de equilíbrio:
Vou usar estas equações para relacionar
,
e
.
Passo 3
Equilíbrio vertical: explique a fórmula e resolva.
A componente vertical da tensão é
(para cima) e deve equilibrar o peso
(para baixo). Assim:
Nesta fórmula:
-
é a tensão no cabo ; -
é o ângulo que o cabo faz com a horizontal (aqui ); -
é a massa da luminária; -
é a aceleração da gravidade.
Isolando
:
Agora calculo numericamente
e
:
Passo 4
Equilíbrio horizontal: relação entre componente horizontal da tensão e a força da mola; expressão da extensão da mola.
A componente horizontal da tensão aponta para a esquerda e tem módulo
. A mola exerce um módulo
para a direita. Pelo equilíbrio horizontal:
A lei da mola de Hooke (linear) diz:
onde
é a extensão da mola a partir do seu comprimento livre
(ou seja
).
Igualando as expressões:
Isolando
:
Vou substituir os valores calculados e conhecidos:
Calcule passo a passo:
Portanto a mola está estendida
além do seu comprimento livre.
Passo 5
Determinar a posição horizontal de
em relação às paredes usando a geometria horizontal.
A mola conecta
ao ponto fixo
na parede direita; como a mola está horizontal, o comprimento atual da mola é
Substituindo:
A distância total entre as paredes (de onde parte o cabo em
até a parede direita onde fica
) é
. Então a coordenada horizontal de
medida a partir da parede esquerda (local do ponto
) é a distância restante:
Substituindo valores:
Aqui
é a projeção horizontal do segmento
(distância horizontal entre
e
).
Passo 6
Relacionar a geometria do cabo com o ângulo
e obter a componente vertical (queda) do cabo.
Pelo triângulo formado por
e
, o ângulo entre
e a horizontal é
. Portanto a tangente do ângulo relaciona a queda vertical
com a distância horizontal
:
Para
:
Logo
Aqui
é a diferença vertical entre o ponto fixo
(no topo da parede) e o ponto
.
Passo 7
Calcular o comprimento do cabo
usando as componentes horizontal e vertical.
O comprimento do cabo é a hipotenusa do triângulo com catetos
e
. Assim:
Também, por relação trigonométrica, como
é a projeção horizontal de
,
Uso a expressão com
para cálculo direto:
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com dados), obtemos:
Passo 8
Resumo rápido dos principais valores intermediários (para conferir):
-
. -
. - extensão da mola
. - comprimento atual da mola
. - posição horizontal
. - queda vertical
. -
.