2{ }^{\text {a }} Questão: Determine o comprimento do cabo A C de modo que \theta =30^{\circ} e que a mola A B permaneça horizontal. O comprimento livre de A B é \mathrm{L}_{\mathrm{AB}}=0,4 \mathrm{~m}, \mathrm{~L}=2 \mathrm{~m}, \mathrm{k}_{\mathrm{AB}}=300 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e a luminária tem uma massa \mathrm{m}=8 \mathrm{~kg}. (3,0) Adotar \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos (alguns peguei da imagem enviada).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o comprimento do cabo \mathrm{AC} de modo que o ângulo em A seja \theta=30^\circ e que a mola AB permaneça horizontal, em equilíbrio estático.
Dados fornecidos (peguei estes valores da figura/enunciado):
  • comprimento livre (comprimento natural) da mola: \mathrm{L}_{AB}=0,4\\ \mathrm{m}.
  • distância horizontal entre os apoios na parede (entre C e parede à direita): L=2\\ \mathrm{m}.
  • constante elástica da mola: \mathrm{k}_{AB}=300\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
  • massa da luminária: m=8\\ \mathrm{kg}.
  • gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • ângulo desejado: \theta=30^\circ.
O que vamos determinar:
  • comprimento \mathrm{AC} (comprimento do cabo entre o ponto fixo C na parede e o ponto A).

Passo 2

Análise das forças em A e equilíbrio: montar o diagrama de corpo livre (explicando cada termo).
Em A atuam três forças em equilíbrio:
  • a tensão do cabo AC, chamada T, cujo sentido em A é para cima e para a esquerda, fazendo ângulo \theta com a horizontal;
  • a força da mola AB, horizontal para a direita, módulo F_s;
  • o peso da luminária, vertical para baixo, módulo mg.
Como o ponto A está em equilíbrio estático, a soma vetorial das forças é nula. Separando componentes horizontal e vertical obtemos as equações de equilíbrio:
\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0.
Vou usar estas equações para relacionar T, F_s e mg.

Passo 3

Equilíbrio vertical: explique a fórmula e resolva.
A componente vertical da tensão é T\sin\theta (para cima) e deve equilibrar o peso mg (para baixo). Assim:
T\sin\theta = mg.
Nesta fórmula:
  • T é a tensão no cabo \mathrm{AC};
  • \theta é o ângulo que o cabo faz com a horizontal (aqui \theta=30^\circ);
  • m é a massa da luminária;
  • g é a aceleração da gravidade.
Isolando T:
T=\frac{mg}{\sin\theta}.
Agora calculo numericamente mg e T:
mg = 8\cdot 9,8 = 78,4\\ \mathrm{N},
T=\frac{78,4}{\sin 30^\circ}=\frac{78,4}{0,5}=156,8\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Equilíbrio horizontal: relação entre componente horizontal da tensão e a força da mola; expressão da extensão da mola.
A componente horizontal da tensão aponta para a esquerda e tem módulo T\cos\theta. A mola exerce um módulo F_s para a direita. Pelo equilíbrio horizontal:
F_s = T\cos\theta.
A lei da mola de Hooke (linear) diz:
F_s = k_{AB}\,x,
onde x é a extensão da mola a partir do seu comprimento livre \mathrm{L}_{AB} (ou seja x = \text{comprimento atual da mola} - \mathrm{L}_{AB}).
Igualando as expressões:
k_{AB}\,x = T\cos\theta.
Isolando x:
x = \frac{T\cos\theta}{k_{AB}}.
Vou substituir os valores calculados e conhecidos:
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025,
x = \frac{156,8\cdot 0,866025}{300}.
Calcule passo a passo:
156,8\cdot 0,866025 \approx 135,74\\ \mathrm{N},
x \approx \frac{135,74}{300} \approx 0,4525\\ \mathrm{m}.
Portanto a mola está estendida x\approx 0,4525\\ \mathrm{m} além do seu comprimento livre.

Passo 5

Determinar a posição horizontal de A em relação às paredes usando a geometria horizontal.
A mola conecta A ao ponto fixo B na parede direita; como a mola está horizontal, o comprimento atual da mola é
\text{comprimento atual da mola} = \mathrm{L}_{AB} + x.
Substituindo:
\mathrm{L}_{AB}+x = 0,4 + 0,4525 = 0,8525\\ \mathrm{m}.
A distância total entre as paredes (de onde parte o cabo em C até a parede direita onde fica B) é L=2\\ \mathrm{m}. Então a coordenada horizontal de A medida a partir da parede esquerda (local do ponto C) é a distância restante:
x_A = L - (\mathrm{L}_{AB}+x).
Substituindo valores:
x_A = 2 - 0,8525 = 1,1475\\ \mathrm{m}.
Aqui x_A é a projeção horizontal do segmento \mathrm{AC} (distância horizontal entre C e A).

Passo 6

Relacionar a geometria do cabo com o ângulo \theta e obter a componente vertical (queda) do cabo.
Pelo triângulo formado por A e C, o ângulo entre \mathrm{AC} e a horizontal é \theta. Portanto a tangente do ângulo relaciona a queda vertical y com a distância horizontal x_A:
\tan\theta = \frac{y}{x_A}\quad\Longrightarrow\quad y = x_A\tan\theta.
Para \theta=30^\circ:
\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,57735.
Logo
y = 1,1475\cdot 0,57735 \approx 0,6625\\ \mathrm{m}.
Aqui y é a diferença vertical entre o ponto fixo C (no topo da parede) e o ponto A.

Passo 7

Calcular o comprimento do cabo \mathrm{AC} usando as componentes horizontal e vertical.
O comprimento do cabo é a hipotenusa do triângulo com catetos x_A e y. Assim:
\mathrm{AC}=\sqrt{x_A^{2}+y^{2}}.
Também, por relação trigonométrica, como x_A é a projeção horizontal de \mathrm{AC},
\mathrm{AC}=\frac{x_A}{\cos\theta}.
Uso a expressão com \cos\theta para cálculo direto:
\cos 30^\circ \approx 0,866025,
\mathrm{AC}=\frac{1,1475}{0,866025}\approx 1,3252\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com dados), obtemos:
\mathrm{AC}\approx 1,33\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Resumo rápido dos principais valores intermediários (para conferir):
  • mg=78,4\\ \mathrm{N}.
  • T=156,8\\ \mathrm{N}.
  • extensão da mola x\approx 0,4525\\ \mathrm{m}.
  • comprimento atual da mola \mathrm{L}_{AB}+x\approx 0,8525\\ \mathrm{m}.
  • posição horizontal x_A\approx 1,1475\\ \mathrm{m}.
  • queda vertical y\approx 0,6625\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{AC}\approx 1,3252\\ \mathrm{m}.

Resposta

\mathrm{AC}\approx 1,33\\ \mathrm{m}

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