(1 ponto) O carro B faz uma curva de tal maneira que sua velocidade escalar é aumentada na razão de \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3 e^{t}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde t é dado em segundos. Se um carro parte do repouso quando \theta=0^{\circ}, determine as intensidades da sua velocidade e aceleração quando o braço AB gira \theta=45^{\circ}. Despreze a dimensão do carro. (Equivalente ao Problema 12.138 p. 49)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede coisas específicas.
Dado: a aceleração tangencial do carro B é \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3e^{t}\right)\\ \mathrm{m/s^{2}}, com t em segundos. (Peguei este valor do enunciado.)
Dado: o carro parte do repouso em \theta=0^\circ.
Pedido: determinar as intensidades (módulos) da velocidade e da aceleração do carro quando o braço AB gira até \theta=45^\circ (ou seja, \theta=\pi/4 rad).
Informações relevantes que FALTAM (e que são necessárias):
O comprimento do braço AB (ou seja, o raio r da trajetória do carro) não foi fornecido no enunciado que recebi.
Sem esse r não é possível relacionar diretamente a posição angular \theta com o tempo t nem calcular a componente normal (centrípeta) da aceleração que depende de r. Portanto, não é possível obter valores numéricos finais para a velocidade e a aceleração no instante em que \theta=\pi/4 sem conhecer r.
Passo 2
Explicação didática do que a informação \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3e^{t}\right) significa e como obter v(t).
A aceleração tangencial a_{t} é a taxa de variação da velocidade escalar v em relação ao tempo: \dfrac{dv}{dt}=a_{t}(t). É a parte da aceleração que altera o módulo da velocidade (faz o carro acelerar ou frear ao longo da trajetória).
Como foi dado a_{t}(t)=0,3e^{t}, podemos integrar essa relação para obter v(t). O carro parte do repouso em t=0, logo a condição inicial é v(0)=0.
Calculemos v(t) integrando \dfrac{dv}{dt}=0,3e^{t} com v(0)=0.
Essa equação é transcendental (envolve e^{t^{*}} e t^{*} misturados). Não pode ser resolvida explicitamente por álgebra elemental; precisa-se de um método numérico (por exemplo, método de Newton, bisseção, ou uma root-finder) para obter t^{*}, e isso exige conhecer o valor de r.
Portanto, sem o valor de r não há como determinar numericamenete t^{*}, logo também não há como avaliar v e as componentes da aceleração naquele instante.
Passo 4
Expressões das componentes da aceleração e do módulo total em função de t e r. Como obter o módulo da aceleração no instante procurado, uma vez conhecido r.
A componente tangencial da aceleração é a dada no enunciado:
Método de Newton: escolha um chute inicial t_{0} (por exemplo t_{0}=1 s), e itere
t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}
até convergência. Depois usar t^{*} encontrado para calcular v e a conforme passo anterior.
Observação final e motivação: sem o valor numérico de r não dá para prosseguir com números; todas as fórmulas e o procedimento numérico estão acima prontos para aplicar assim que r for informado. Fornecer r (por exemplo r=2\\ \mathrm{m} ou outro) permitiria demonstrar o cálculo numérico explícito.
Resposta
Não é possível determinar numericamente as intensidades pedidas pois o comprimento do braço AB (o raio r da trajetória) não foi fornecido. Em função de r, as expressões relevantes são:
v(t)=0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\\ \mathrm{m/s},
\theta(t)=\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr), \quad\text{devendo ser igual a }\frac{\pi}{4}\text{ para o instante procurado},