(1 ponto) O carro B faz uma curva de tal maneira que sua velocidade escalar é aumentada na razão de \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3 e^{t}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde t é dado em segundos. Se um carro parte do repouso quando \theta=0^{\circ}, determine as intensidades da sua velocidade e aceleração quando o braço AB gira \theta=45^{\circ}. Despreze a dimensão do carro. (Equivalente ao Problema 12.138 p. 49)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede coisas específicas.
  • Dado: a aceleração tangencial do carro B é \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3e^{t}\right)\\ \mathrm{m/s^{2}}, com t em segundos. (Peguei este valor do enunciado.)
  • Dado: o carro parte do repouso em \theta=0^\circ.
  • Pedido: determinar as intensidades (módulos) da velocidade e da aceleração do carro quando o braço AB gira até \theta=45^\circ (ou seja, \theta=\pi/4 rad).
Informações relevantes que FALTAM (e que são necessárias):
  • O comprimento do braço AB (ou seja, o raio r da trajetória do carro) não foi fornecido no enunciado que recebi.
    Sem esse r não é possível relacionar diretamente a posição angular \theta com o tempo t nem calcular a componente normal (centrípeta) da aceleração que depende de r. Portanto, não é possível obter valores numéricos finais para a velocidade e a aceleração no instante em que \theta=\pi/4 sem conhecer r.

Passo 2

Explicação didática do que a informação \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,3e^{t}\right) significa e como obter v(t).
  • A aceleração tangencial a_{t} é a taxa de variação da velocidade escalar v em relação ao tempo: \dfrac{dv}{dt}=a_{t}(t). É a parte da aceleração que altera o módulo da velocidade (faz o carro acelerar ou frear ao longo da trajetória).
  • Como foi dado a_{t}(t)=0,3e^{t}, podemos integrar essa relação para obter v(t). O carro parte do repouso em t=0, logo a condição inicial é v(0)=0.
Calculemos v(t) integrando \dfrac{dv}{dt}=0,3e^{t} com v(0)=0.
v(t)=\int_{0}^{t}0,3e^{\tau}\,d\tau=0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Aqui expliquei cada símbolo: v(t) é a velocidade escalar no tempo t; \tau é a variável de integração usada para não confundir com o limite superior t.

Passo 3

Relação entre velocidade escalar, velocidade angular e posição angular \theta(t). Como achar a equação que liga \theta e t.
  • Para movimento em trajetória circular de raio r (comprimento do braço AB), vale a relação entre velocidade escalar v e velocidade angular \omega:
v(t)=r\,\omega(t).
  • A posição angular \theta(t) é a integral da velocidade angular:
\theta(t)=\int_{0}^{t}\omega(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t}\frac{v(\tau)}{r}\,d\tau.
Substituindo v(\tau)=0,3\bigl(e^{\tau}-1\bigr) obtemos
\theta(t)=\frac{1}{r}\int_{0}^{t}0,3\bigl(e^{\tau}-1\bigr)\,d\tau =\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr).
Queremos o instante t^{*} tal que \theta(t^{*})=\pi/4. Isso gera a equação para t^{*}:
\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t^{*}}-t^{*}-1\bigr)=\frac{\pi}{4}.
Observações importantes:
  • Essa equação é transcendental (envolve e^{t^{*}} e t^{*} misturados). Não pode ser resolvida explicitamente por álgebra elemental; precisa-se de um método numérico (por exemplo, método de Newton, bisseção, ou uma root-finder) para obter t^{*}, e isso exige conhecer o valor de r.
  • Portanto, sem o valor de r não há como determinar numericamenete t^{*}, logo também não há como avaliar v e as componentes da aceleração naquele instante.

Passo 4

Expressões das componentes da aceleração e do módulo total em função de t e r. Como obter o módulo da aceleração no instante procurado, uma vez conhecido r.
  • A componente tangencial da aceleração é a dada no enunciado:
a_{t}(t)=0,3e^{t}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A componente normal (centrípeta) tem módulo
a_{n}(t)=\frac{v(t)^{2}}{r}=\frac{\bigl[\,0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\,\bigr]^{2}}{r}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O módulo da aceleração total é a soma vetorial das duas componentes perpendiculares (tangencial e normal), portanto
a(t)=\sqrt{a_{t}(t)^{2}+a_{n}(t)^{2}} =\sqrt{\bigl(0,3e^{t}\bigr)^{2}+\left(\frac{\bigl[\,0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\,\bigr]^{2}}{r}\right)^{2}}.
Procedimento para obter os valores no instante em que \theta=\pi/4:
  1. Resolver numericamente a equação \dfrac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr)=\dfrac{\pi}{4} para obter t^{*} (isso exige conhecer r).
  2. Calcular v(t^{*})=0,3\bigl(e^{t^{*}}-1\bigr).
  3. Calcular a_{t}(t^{*})=0,3e^{t^{*}}.
  4. Calcular a_{n}(t^{*})=\dfrac{[v(t^{*})]^{2}}{r}.
  5. Calcular a(t^{*})=\sqrt{a_{t}(t^{*})^{2}+a_{n}(t^{*})^{2}}.

Passo 5

Como resolver numericamente (breve explicação) caso o comprimento r seja fornecido — método de Newton como exemplo.
  • Defina a função
f(t)=\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr)-\frac{\pi}{4}.
Queremos f(t)=0. A derivada é
f'(t)=\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-1\bigr).
  • Método de Newton: escolha um chute inicial t_{0} (por exemplo t_{0}=1 s), e itere
t_{n+1}=t_{n}-\frac{f(t_{n})}{f'(t_{n})}
até convergência. Depois usar t^{*} encontrado para calcular v e a conforme passo anterior.
Observação final e motivação: sem o valor numérico de r não dá para prosseguir com números; todas as fórmulas e o procedimento numérico estão acima prontos para aplicar assim que r for informado. Fornecer r (por exemplo r=2\\ \mathrm{m} ou outro) permitiria demonstrar o cálculo numérico explícito.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as intensidades pedidas pois o comprimento do braço AB (o raio r da trajetória) não foi fornecido. Em função de r, as expressões relevantes são:
v(t)=0,3\bigl(e^{t}-1\bigr)\\ \mathrm{m/s},
\theta(t)=\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t}-t-1\bigr), \quad\text{devendo ser igual a }\frac{\pi}{4}\text{ para o instante procurado},
o que dá a equação para t^{*}:
\frac{0,3}{r}\bigl(e^{t^{*}}-t^{*}-1\bigr)=\frac{\pi}{4}.
Uma vez conhecido t^{*} (obtido numericamente), as componentes e o módulo da aceleração no instante são
a_{t}(t^{*})=0,3e^{t^{*}}\\ \mathrm{m/s^{2}}, \qquad a_{n}(t^{*})=\frac{\bigl[\,0,3\bigl(e^{t^{*}}-1\bigr)\,\bigr]^{2}}{r}\\ \mathrm{m/s^{2}},
a(t^{*})=\sqrt{a_{t}(t^{*})^{2}+a_{n}(t^{*})^{2}}.

Exercícios relacionados