O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
- A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás está sendo comprimida a uma temperatura constante, a pressão
e o volume
satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Supo-nha que, em um certo momento, o volume seja de
, a pressão de 150 kPa , e a pressão cresça a uma taxa de
. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (tirei todos diretamente do enunciado):
- A relação entre pressão e volume é
, com constante (Lei de Boyle). - No instante considerado: o volume é
. - No mesmo instante: a pressão é
. - A taxa de variação da pressão é
(a pressão está aumentando).
O que se pede: - A que taxa o volume está mudando nesse instante, isto é, encontrar
e interpretar o sinal (se está aumentando ou diminuindo).
Passo 2
Modelagem e significado das quantidades:
- Trate
e como funções do tempo : e . - A equação dada é
com constante no tempo. - O que nos pedem é a derivada temporal
no instante em que e , sabendo .
Explicação curta sobre o que é: é a velocidade de variação do volume — um número positivo significa volume aumentando, negativo significa volume diminuindo; as unidades serão se mantivermos em e o tempo em minutos.
Passo 3
Diferenciação implícita (regra do produto):
- Partindo de
, derivamos ambos os lados em relação a . - A regra do produto diz que a derivada de
é . - Como
é constante, sua derivada é zero. Logo:
Explicando cada termo:
representa como a variação do volume contribui para a mudança do produto
, e
representa como a variação da pressão contribui.
Passo 4
Isolar
:
- A partir de
, isolamos :
Aqui
,
e
são os valores no instante em questão; as unidades ficam consistentes (por exemplo
em
,
em
,
em
dá
em
).
Passo 5
Substituir os valores numéricos (passo a passo):
- Substituindo
, e na expressão:
- Calcule a fração:
. - Portanto:
Passo 6
Interpretação do resultado e verificação de unidades:
- O valor
indica que o volume está diminuindo, à taxa de por minuto, naquele instante. - Verificação rápida de unidades:
em multiplicado por em e em multiplicado por em possuem as mesmas unidades, então a equação diferenciada faz sentido dimensionalmente.
Passo 7
Dica prática para a prova (resumão amigo):
- Sempre escreva
e derive implicitamente: . - Isole
como , depois substitua números e cheque unidades. - Interprete o sinal: negativo = decrescendo, positivo = crescendo.
Força — você consegue fazer esse tipo de exercício rapidinho com esse procedimento!