O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
  1. A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás está sendo comprimida a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação P V=C, onde C é uma constante. Supo-nha que, em um certo momento, o volume seja de 600 \mathrm{~cm}^{3}, a pressão de 150 kPa , e a pressão cresça a uma taxa de 20 \mathrm{kPa} / \mathrm{min}. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tirei todos diretamente do enunciado):
  • A relação entre pressão e volume é P V = C, com C constante (Lei de Boyle).
  • No instante considerado: o volume é V=600\\ \mathrm{cm}^3.
  • No mesmo instante: a pressão é P=150\\ \mathrm{kPa}.
  • A taxa de variação da pressão é \dfrac{dP}{dt}=20\\ \mathrm{kPa/min} (a pressão está aumentando).
    O que se pede:
  • A que taxa o volume está mudando nesse instante, isto é, encontrar \dfrac{dV}{dt} e interpretar o sinal (se está aumentando ou diminuindo).

Passo 2

Modelagem e significado das quantidades:
  • Trate P e V como funções do tempo t: P=P(t) e V=V(t).
  • A equação dada é \;P(t)\,V(t)=C\; com C constante no tempo.
  • O que nos pedem é a derivada temporal \dfrac{dV}{dt} no instante em que P=150\\ \mathrm{kPa} e V=600\\ \mathrm{cm}^3, sabendo \dfrac{dP}{dt}=20\\ \mathrm{kPa/min}.
    Explicação curta sobre o que é \dfrac{dV}{dt}: é a velocidade de variação do volume — um número positivo significa volume aumentando, negativo significa volume diminuindo; as unidades serão \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} se mantivermos V em \mathrm{cm}^3 e o tempo em minutos.

Passo 3

Diferenciação implícita (regra do produto):
  • Partindo de \;P(t)\,V(t)=C\;, derivamos ambos os lados em relação a t.
  • A regra do produto diz que a derivada de P(t)V(t) é P(t)\dfrac{dV}{dt}+V(t)\dfrac{dP}{dt}.
  • Como C é constante, sua derivada é zero. Logo:
P(t)\,\frac{dV}{dt}+V(t)\,\frac{dP}{dt}=0.
Explicando cada termo: P(t)\,\dfrac{dV}{dt} representa como a variação do volume contribui para a mudança do produto PV, e V(t)\,\dfrac{dP}{dt} representa como a variação da pressão contribui.

Passo 4

Isolar \dfrac{dV}{dt}:
  • A partir de P\,\dfrac{dV}{dt}+V\,\dfrac{dP}{dt}=0, isolamos \dfrac{dV}{dt}:
\frac{dV}{dt} = -\frac{V}{P}\,\frac{dP}{dt}.
Aqui V, P e \dfrac{dP}{dt} são os valores no instante em questão; as unidades ficam consistentes (por exemplo P em \mathrm{kPa}, V em \mathrm{cm}^3, \dfrac{dP}{dt} em \mathrm{kPa/min} \dfrac{dV}{dt} em \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}).

Passo 5

Substituir os valores numéricos (passo a passo):
  • Substituindo V=600\\ \mathrm{cm}^3, P=150\\ \mathrm{kPa} e \dfrac{dP}{dt}=20\\ \mathrm{kPa/min} na expressão:
\frac{dV}{dt} = -\frac{600}{150}\cdot 20\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}.
  • Calcule a fração: \dfrac{600}{150}=4.
  • Portanto:
\frac{dV}{dt} = -4\cdot 20\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} = -80\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}.

Passo 6

Interpretação do resultado e verificação de unidades:
  • O valor \dfrac{dV}{dt} = -80\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} indica que o volume está diminuindo, à taxa de 80\\ \mathrm{cm}^3 por minuto, naquele instante.
  • Verificação rápida de unidades: P em \mathrm{kPa} multiplicado por \dfrac{dV}{dt} em \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} e V em \mathrm{cm}^3 multiplicado por \dfrac{dP}{dt} em \mathrm{kPa/min} possuem as mesmas unidades, então a equação diferenciada faz sentido dimensionalmente.

Passo 7

Dica prática para a prova (resumão amigo):
  • Sempre escreva P(t)V(t)=\text{const} e derive implicitamente: P\,dV/dt+V\,dP/dt=0.
  • Isole dV/dt como -\dfrac{V}{P}\,dP/dt, depois substitua números e cheque unidades.
  • Interprete o sinal: negativo = decrescendo, positivo = crescendo.
    Força — você consegue fazer esse tipo de exercício rapidinho com esse procedimento!

Resposta

-80\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}