The instantaneous electric field inside a source-free, homogeneous, isotropic, and linear medium is given by
\mathscr{E}=\left[\hat{\mathbf{a}}_{x} A(x+y)+\hat{\mathbf{a}}_{y} B(x-y)\right] \cos (\omega t)
Determine the relations between A and B.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico instantâneo
\mathscr{E}=\left[\hat{\mathbf{a}}_{x}\,A(x+y)+\hat{\mathbf{a}}_{y}\,B(x-y)\right]\cos(\omega t)
num meio sem fontes, homogêneo, isotrópico e linear. A pergunta é: quais são as relações entre as funções A e B impostas pelas equações de Maxwell (ou pelas condições físicas do meio)?\n
Informações relevantes: \mathscr{E} depende espacialmente através de A(x+y) e B(x-y), e temporalmente via \cos(\omega t). O meio é linear isotrópico homogêneo (logo \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}) e não há cargas livres nem correntes livres.

Passo 2

Aplicamos a condição de ausência de cargas livres. A equação de Maxwell correspondente é
\nabla\cdot\mathbf{D}=0.
Como o meio é linear, isotrópico e homogêneo, \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} com \varepsilon constante, portanto
\nabla\cdot\mathbf{E}=0.
Vou calcular \nabla\cdot\mathbf{E} passo a passo. Escrevemos as componentes:
E_x = A(x+y)\cos(\omega t),\qquad E_y = B(x-y)\cos(\omega t),\qquad E_z=0.
A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}.
Usando a regra da cadeia (e lembrando de colocar tudo em função da variável de entrada das funções):
\frac{\partial E_x}{\partial x} = A'(x+y)\cos(\omega t),
\frac{\partial E_y}{\partial y} = B'(x-y)\cdot\frac{d(x-y)}{dy}\cos(\omega t)=B'(x-y)(-1)\cos(\omega t).
Logo
\nabla\cdot\mathbf{E}=\big(A'(x+y)-B'(x-y)\big)\cos(\omega t)=0.
Como \cos(\omega t) não é identicamente zero para todo t, obtemos a relação espacial
A'(x+y)-B'(x-y)=0.

Passo 3

Denote u=x+y e v=x-y. A relação do passo anterior fica
A'(u)=B'(v)\qquad\text{para todo }u,v.
Aqui é importante observar que u e v variam de modo independente (podemos escolher x,y de forma a obter quaisquer pares (u,v)). A única forma de uma função de u ser igual para todos os v a uma função de v é que ambas sejam constantes iguais a uma mesma constante. Ou seja, existe uma constante k tal que
A'(u)=k,\qquad B'(v)=k.
Integrando em cada variável obtemos as formas gerais
A(u)=k\,u + C_1,\qquad B(v)=k\,v + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

Passo 4

Agora verificamos consequências das outras equações de Maxwell. Calculemos o rotacional de \mathbf{E}. Em componentes,
(\nabla\times\mathbf{E})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}.
Usando as derivadas:
\frac{\partial E_y}{\partial x}=B'(x-y)\cos(\omega t),\qquad \frac{\partial E_x}{\partial y}=A'(x+y)\cos(\omega t).
Com A'=B'=k chegamos a
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}.
A lei de Faraday é
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Portanto -\partial\mathbf{B}/\partial t=\mathbf{0}, ou seja \mathbf{B} (densidade de fluxo magnético) é independente do tempo:
\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=0.

Passo 5

Use agora a lei de Ampère-Maxwell (sem correntes livres):
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
Como o meio é linear e homogêneo, \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu. Já vimos que \mathbf{B} é independente do tempo, logo \mathbf{H} é independente do tempo e \nabla\times\mathbf{H} é uma quantidade independente do tempo (constante temporalmente). O lado direito é
\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=\varepsilon\big[-\omega\sin(\omega t)\big]\big[\hat{\mathbf{a}}_{x}A(x+y)+\hat{\mathbf{a}}_{y}B(x-y)\big].
Este lado direito depende de \sin(\omega t) (i.e. é tempo-variável), salvo duas possibilidades que o tornam temporalmente constante (ou nulo):
  • \omega=0 (caso estático, então \cos(\omega t) é constante e não há contradição), ou
  • O fator espacial que multiplica \sin(\omega t) é a função nula (isto é, \hat{\mathbf{a}}_{x}A(x+y)+\hat{\mathbf{a}}_{y}B(x-y)=\mathbf{0} para todo x,y), implicando \mathbf{E}\equiv\mathbf{0}.

Passo 6

Conclusão das possibilidades compatíveis com todas as equações de Maxwell:
  • Se \omega\neq 0 (campo time-harmonic não-estático), a única solução compatível é a solução trivial \mathbf{E}\equiv\mathbf{0}. Isso implica que as funções A e B devem ser identicamente zero:
A(s)=0,\qquad B(s)=0\quad\text{para todo }s.
  • Se \omega=0 (caso estático, sem variação temporal), então as relações do Passo 3 são suficientes e a solução geral é
A(s)=k\,s + C_1,\qquad B(s)=k\,s + C_2,
com k,C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

Se \omega\neq 0: A(s)=0 e B(s)=0.\n
Se \omega=0: A(s)=k\,s+C_{1} e B(s)=k\,s+C_{2}, com k,C_{1},C_{2} constantes.