The instantaneous electric field inside a source-free, homogeneous, isotropic, and linear medium is given by
Determine the relations between
and
.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico instantâneo
num meio sem fontes, homogêneo, isotrópico e linear. A pergunta é: quais são as relações entre as funções
e
impostas pelas equações de Maxwell (ou pelas condições físicas do meio)?\n
Informações relevantes: depende espacialmente através de
e
, e temporalmente via
. O meio é linear isotrópico homogêneo (logo
e
) e não há cargas livres nem correntes livres.
Informações relevantes:
Passo 2
Aplicamos a condição de ausência de cargas livres. A equação de Maxwell correspondente é
Como o meio é linear, isotrópico e homogêneo,
com
constante, portanto
Vou calcular
passo a passo. Escrevemos as componentes:
A divergência é
Usando a regra da cadeia (e lembrando de colocar tudo em função da variável de entrada das funções):
Logo
Como
não é identicamente zero para todo
, obtemos a relação espacial
Passo 3
Denote
e
. A relação do passo anterior fica
Aqui é importante observar que
e
variam de modo independente (podemos escolher
de forma a obter quaisquer pares
). A única forma de uma função de
ser igual para todos os
a uma função de
é que ambas sejam constantes iguais a uma mesma constante. Ou seja, existe uma constante
tal que
Integrando em cada variável obtemos as formas gerais
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora verificamos consequências das outras equações de Maxwell. Calculemos o rotacional de
. Em componentes,
Usando as derivadas:
Com
chegamos a
A lei de Faraday é
Portanto
, ou seja
(densidade de fluxo magnético) é independente do tempo:
Passo 5
Use agora a lei de Ampère-Maxwell (sem correntes livres):
Como o meio é linear e homogêneo,
. Já vimos que
é independente do tempo, logo
é independente do tempo e
é uma quantidade independente do tempo (constante temporalmente). O lado direito é
Este lado direito depende de
(i.e. é tempo-variável), salvo duas possibilidades que o tornam temporalmente constante (ou nulo):
-
(caso estático, então é constante e não há contradição), ou - O fator espacial que multiplica
é a função nula (isto é, para todo ), implicando .
Passo 6
Conclusão das possibilidades compatíveis com todas as equações de Maxwell:
- Se
(campo time-harmonic não-estático), a única solução compatível é a solução trivial . Isso implica que as funções e devem ser identicamente zero:
- Se
(caso estático, sem variação temporal), então as relações do Passo 3 são suficientes e a solução geral é
com
constantes arbitrárias.
Resposta
Se
:
e
.\n
Se :
e
, com
constantes.
Se