If the motor of the electric drill turns the armature shaft S with an angular velocity of \omega_{S}=\left(100 t^{1 / 2}\right) \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine the angular velocity and angular acceleration of the shaft at the instant it has turned 200 rev, starting from rest.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade angular do eixo S como função do tempo e pede a velocidade angular e a aceleração angular do eixo no instante em que ele já girou 200 voltas, partindo do repouso. Informação e pedidos importantes:
  • Dado: \omega_{S}(t)=\left(100\,t^{1/2}\right)\\ \mathrm{rad/s}.
  • Condição inicial: parte do repouso (isto é, \theta(0)=0).
  • Pedido: determinar \omega e \alpha no instante em que a rotação acumulada é 200 revoluções.
  • Observação: 200 revoluções em radianos valem \;200\cdot2\pi=400\pi rad.

Passo 2

Lembrando as relações fundamentais de cinemática rotacional:
  • A velocidade angular é a derivada da posição angular: \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}.
  • A posição angular acumulada a partir do repouso é a integral da velocidade: \theta(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\omega(\tau)\,d\tau.
    Usamos essas fórmulas com \omega(\tau)=100\,\tau^{1/2}. Então calculamos \theta(t):
\theta(t)=\int_{0}^{t}100\,\tau^{1/2}\,d\tau
Efetuando a integral (a integral de \tau^{1/2} é \tfrac{2}{3}\tau^{3/2}):
\theta(t)=100\cdot\frac{2}{3}\,t^{3/2}=\frac{200}{3}\,t^{3/2}.

Passo 3

Agora imponho que a posição angular acumulada seja \;400\pi rad (as 200 rev convertidas). Assim:
\frac{200}{3}\,t^{3/2}=400\pi.
Isolando t^{3/2}:
t^{3/2}=400\pi\cdot\frac{3}{200}=6\pi.
Logo
t=(6\pi)^{2/3}.
Para ter uma ideia do instante em segundos, calculamos numericamente:
t\approx(6\pi)^{2/3}\approx7,091\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora obtemos a velocidade angular \omega naquele instante. A fórmula dada é \omega(t)=100\,t^{1/2}. Usando o valor de t:
t^{1/2}=\bigl((6\pi)^{2/3}\bigr)^{1/2}=(6\pi)^{1/3},
portanto
\omega=100\,(6\pi)^{1/3}.
Valor numérico:
\omega\approx100\cdot(6\pi)^{1/3}\approx266,3\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

A aceleração angular é a derivada de \omega em relação ao tempo:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(100\,t^{1/2}\bigr)=100\cdot\frac{1}{2}\,t^{-1/2}=50\,t^{-1/2}.
Avalia-se em t=(6\pi)^{2/3}. Usando t^{-1/2}=(6\pi)^{-1/3}:
\alpha=50\,(6\pi)^{-1/3}.
Valor numérico:
\alpha\approx\frac{50}{(6\pi)^{1/3}}\approx18,78\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Resposta

\omega\approx266,3\\ \mathrm{rad/s}
\alpha\approx18,78\\ \mathrm{rad/s^{2}}

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