Um componente está solicitado pelas tensões:
  • Tensões normais: \sigma_{\mathrm{x}}=50 \mathrm{MPa}, \sigma_{\mathrm{y}}=-80 \mathrm{MPa}, \sigma_{\mathrm{z}}=110 \mathrm{MPa}
  • Tensões de cisalhamento: \tau_{\mathrm{xy}}=45 \mathrm{MPa}, \tau_{\mathrm{yz}}=30 \mathrm{MPa}, \tau_{\mathrm{zx}}=60 \mathrm{MPa}
Sabendo-se que o material segue o critério da máxima energia de distorção e que \sigma_{\mathrm{Y}}=320 \mathrm{MPa}, investigue se o componente está em segurança.
Resposta: Sim! 47.875<102.400

Passo 1

O enunciado fornece as componentes do tensor de tensões no componente e pede para verificar se ele está em segurança segundo o critério da máxima energia de distorção (critério de von Mises). Dados fornecidos:
  • Tensões normais:
    • \sigma_{\mathrm{x}}=50\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{\mathrm{y}}=-80\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{\mathrm{z}}=110\\ \mathrm{MPa}
  • Tensões de cisalhamento:
    • \tau_{\mathrm{xy}}=45\\ \mathrm{MPa}
    • \tau_{\mathrm{yz}}=30\\ \mathrm{MPa}
    • \tau_{\mathrm{zx}}=60\\ \mathrm{MPa}
  • Limite de escoamento do material: \sigma_{\mathrm{Y}}=320\\ \mathrm{MPa}
Pergunta a responder: o componente está em segurança segundo o critério de von Mises? (ou seja, \sigma_{\text{VM}}<\sigma_Y ?)

Passo 2

Apresentando o critério de máxima energia de distorção (von Mises) e explicando as variáveis.
  • Ideia física curta e amigável: o critério de von Mises diz que o material começa a escoar quando a energia associada à mudança de forma (distorção), independentemente das mudanças de volume, atinge o mesmo nível que no ensaio de tração uniaxial até o escoamento. Para usar isso em tensões tridimensionais definimos uma “tensão equivalente” \sigma_{\text{VM}} que compara com \sigma_Y.
  • Fórmula usada (para estado de tensões tridimensional com componentes cartesianas):
\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\Big[(\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+(\sigma_z-\sigma_x)^2\Big] + 3\big(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2\big)}
Onde:
  • \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z são as tensões normais nas direções x,y,z.
  • \tau_{xy},\tau_{yz},\tau_{zx} são as tensões de cisalhamento correspondentes.
  • \sigma_{\text{VM}} é a tensão equivalente de von Mises (em MPa).
Explicação da fórmula passo a passo: a parte com diferenças (\sigma_i-\sigma_j)^2 representa a contribuição das componentes normais à energia de distorção; a parcela com 3(\tau^2) representa a contribuição das tensões de cisalhamento. No caso uniaxial puro, essa fórmula retorna exatamente a tensão aplicada.

Passo 3

Calcular as diferenças entre as tensões normais e seus quadrados (vou deixar todas as contas detalhadas para você conseguir reproduzir na prova).
Primeiro os três termos (\sigma_x-\sigma_y),(\sigma_y-\sigma_z),(\sigma_z-\sigma_x):
\sigma_x-\sigma_y = 50 - (-80) = 130\\ \mathrm{MPa}
\sigma_y-\sigma_z = -80 - 110 = -190\\ \mathrm{MPa}
\sigma_z-\sigma_x = 110 - 50 = 60\\ \mathrm{MPa}
Agora os quadrados:
(\sigma_x-\sigma_y)^2 = 130^2 = 16900
(\sigma_y-\sigma_z)^2 = (-190)^2 = 36100
(\sigma_z-\sigma_x)^2 = 60^2 = 3600
Somando esses três quadrados:
(\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+(\sigma_z-\sigma_x)^2 = 16900+36100+3600 = 56600
Metade desse valor (o fator \tfrac{1}{2} da fórmula):
\tfrac{1}{2}\times 56600 = 28300

Passo 4

Calcular a contribuição das tensões de cisalhamento.
Primeiro os quadrados das componentes de cisalhamento:
\tau_{xy}^2 = 45^2 = 2025
\tau_{yz}^2 = 30^2 = 900
\tau_{zx}^2 = 60^2 = 3600
Somando:
\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2 = 2025+900+3600 = 6525
Multiplicando por 3 (como na fórmula):
3\big(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2\big) = 3\times 6525 = 19575

Passo 5

Somar as contribuições e extrair a raiz quadrada para obter \sigma_{\text{VM}}.
Soma das parcelas obtidas nos passos anteriores:
\tfrac{1}{2}[\cdots] + 3[\cdots] = 28300 + 19575 = 47875
Logo
\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{47875}\\ \mathrm{MPa}
Agora aproximando a raiz quadrada:
\sigma_{\text{VM}} \approx 218{,}85\\ \mathrm{MPa}
(uma forma rápida de estimar é escrever 47875=4{,}7875\times10^{4} e tirar a raiz: \sqrt{4{,}7875}\times10^{2}\approx2{,}1885\times10^{2}=218{,}85.)

Passo 6

Comparação com o limite de escoamento e conclusão de segurança.
Compare:
\sigma_{\text{VM}}\approx 218{,}85\\ \mathrm{MPa}\qquad\text{com}\qquad \sigma_Y=320\\ \mathrm{MPa}.
Como \sigma_{\text{VM}}<\sigma_Y, o componente está em segurança segundo o critério de von Mises.
Bônus útil (para prova): fator de segurança aproximado
\text{FS}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_{\text{VM}}}\approx\frac{320}{218{,}85}\approx1{,}46.
Isso significa que a carga pode ser aumentada cerca de 46\% antes de atingir o escoamento (na teoria do critério de von Mises).

Resposta

Sim. \sigma_{\text{VM}}\approx218{,}85\\ \mathrm{MPa}<\sigma_Y=320\\ \mathrm{MPa}

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