Para \theta=30^{\circ} e \varphi=60^{\circ}, determine os cossenos diretores do vetor OP

Passo 1

O enunciado pede: "Para \theta=30^\circ e \varphi=60^\circ, determine os cossenos diretores do vetor OP".
Dados fornecidos: \theta=30^\circ e \varphi=60^\circ. A figura mostra o vetor OP saindo da origem O e os ângulos \theta e \varphi em posição esférica. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Primeiro vamos entender claramente o que são os cossenos diretores. Se um vetor qualquer parte da origem e aponta para o ponto P=(x,y,z), os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que esse vetor faz com os eixos x, y e z. Costumamos chamá‑los de \cos\alpha,\\ \cos\beta,\\ \cos\gamma, onde:
\cos\alpha=\frac{x}{\rho},\qquad \cos\beta=\frac{y}{\rho},\qquad \cos\gamma=\frac{z}{\rho},
e \rho é o comprimento do vetor OP (a distância de O a P). Esses quocientes são exatamente as componentes do vetor unitário na direção de OP.

Passo 3

Agora vamos relacionar as coordenadas cartesianas (x,y,z) com as coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Pela convenção ilustrada (ângulo \theta medido no plano xy a partir do eixo x, e \varphi medido a partir do eixo z — a convenção mostrada na figura), as fórmulas são:
x=\rho\,\sin\varphi\cos\theta, \qquad y=\rho\,\sin\varphi\sin\theta, \qquad z=\rho\,\cos\varphi.
Essas fórmulas vêm da decomposição: projeta‑se OP sobre o plano xy com comprimento \rho\sin\varphi, e essa projeção tem componentes \cos\theta e \sin\theta nos eixos x e y; a componente z é \rho\cos\varphi.

Passo 4

Dividindo as componentes por \rho (ou seja, tomando o vetor unitário na direção de OP), obtemos diretamente os cossenos diretores:
\cos\alpha=\sin\varphi\cos\theta, \qquad \cos\beta=\sin\varphi\sin\theta, \qquad \cos\gamma=\cos\varphi.
Essas são fórmulas padrão e fáceis de memorizar: a componente no eixo z é \cos\varphi; as duas restantes vêm da projeção no plano xy, que tem magnitude \sin\varphi.

Passo 5

Agora aplicamos os valores numéricos \theta=30^\circ e \varphi=60^\circ. Primeiro calculemos os senos e cossenos fundamentais:
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos 60^\circ=\frac{1}{2},
\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Usando as fórmulas do Passo 4, calculamos cada cosseno diretor:
\cos\alpha=\sin\varphi\cos\theta=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{4},
\cos\beta=\sin\varphi\sin\theta=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4},
\cos\gamma=\cos\varphi=\frac{1}{2}.

Passo 7

Verificação rápida (para se sentir seguro): a soma dos quadrados dos cossenos diretores deve dar 1. Verifiquemos:
\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{9}{16}+\frac{3}{16}+\frac{1}{4} =\frac{9+3+4}{16}=\frac{16}{16}=1.
Está consistente — tudo checa.

Resposta

\cos\alpha=\dfrac{3}{4}
\cos\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{4}
\cos\gamma=\dfrac{1}{2}

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