Para
e
, determine os cossenos diretores do vetor OP
Passo 1
O enunciado pede: "Para
e
, determine os cossenos diretores do vetor
".
Dados fornecidos: e
. A figura mostra o vetor
saindo da origem
e os ângulos
e
em posição esférica. Não há outros dados numéricos.
Dados fornecidos:
Passo 2
Primeiro vamos entender claramente o que são os cossenos diretores. Se um vetor qualquer parte da origem e aponta para o ponto
, os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que esse vetor faz com os eixos
,
e
. Costumamos chamá‑los de
, onde:
e
é o comprimento do vetor
(a distância de
a
). Esses quocientes são exatamente as componentes do vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Agora vamos relacionar as coordenadas cartesianas
com as coordenadas esféricas
. Pela convenção ilustrada (ângulo
medido no plano
a partir do eixo
, e
medido a partir do eixo
— a convenção mostrada na figura), as fórmulas são:
Essas fórmulas vêm da decomposição: projeta‑se
sobre o plano
com comprimento
, e essa projeção tem componentes
e
nos eixos
e
; a componente
é
.
Passo 4
Dividindo as componentes por
(ou seja, tomando o vetor unitário na direção de
), obtemos diretamente os cossenos diretores:
Essas são fórmulas padrão e fáceis de memorizar: a componente no eixo
é
; as duas restantes vêm da projeção no plano
, que tem magnitude
.
Passo 5
Agora aplicamos os valores numéricos
e
. Primeiro calculemos os senos e cossenos fundamentais:
Passo 6
Usando as fórmulas do Passo 4, calculamos cada cosseno diretor:
Passo 7
Verificação rápida (para se sentir seguro): a soma dos quadrados dos cossenos diretores deve dar
. Verifiquemos:
Está consistente — tudo checa.