A curva de resistência ao crescimento de uma trinca em determinado material de espessura 2 mm é dada pela seguinte Equação:
Considere um painel confeccionado a partir desse material, com grandes dimensões, espessura 2 mm , e que apresenta uma trinca passante de 4 cm de comprimento. Determine o comprimento de crescimento estável da trinca e a tensão crítica de instabilidade correspondente.
Dados:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) o comprimento de crescimento estável da trinca, isto é, o incremento
até o ponto de instabilidade; (2) a tensão crítica de instabilidade correspondente, isto é, a tensão remota
que faz a trinca tornar-se instável.
Dados fornecidos e informações relevantes:
Dados fornecidos e informações relevantes:
espessura do painel
(painel fino, grandes dimensões), trinca passante inicial de comprimento
Observação importante (usada adiante): por ser painel fino e de grandes dimensões, adotamos a aproximação de placa larga (placa infinita) em condição de plano-tensão, de modo que as fórmulas clássicas de Mecânica da Fratura linear se aplicam (ver próximos passos).
Passo 2
Vamos revisar as fórmulas que vamos usar (mini-aula, passo a passo). Para uma trinca através da espessura numa placa grande sujeita a tensão remota
, o fator de intensidade de tensões é
onde
é o comprimento efetivo da trinca. O módulo de liberação de energia (taxa de energia disponível para crescimento da trinca) chama-se
e, em condição de plano-tensão, relaciona-se com
por
Explicando variáveis:
é a tensão remota aplicada (Pa),
é o comprimento da trinca (m),
tem unidade
,
é o módulo de Young (Pa) e
tem unidade de energia por área
.
Passo 3
A resistência ao crescimento (R-curve) dada no enunciado é
onde
é o crescimento (extensão) da trinca além do comprimento inicial
. O termo
é o valor inicial de
(resistência à fratura) quando
. Nota: aqui
está em metros; o coeficiente
é dado no enunciado (considere-o como constante numérica com as unidades necessárias para consistência).
Passo 4
Condição de equilíbrio (ponto em que a trinca pode crescer quasi-estaticamente): a taxa de energia disponível
no comprimento
deve ser igual à resistência
:
Usando
(pois
e
), a equação de equilíbrio fica
Passo 5
Critério de estabilidade: um pequeno aumento adicional de
será estável se, no ponto de equilíbrio, a resistência crescer com
mais rápido que a taxa de liberação de energia. Formalmente, o limite entre estável e instável ocorre quando as derivadas em relação a
são iguais:
Calculamos ambas as derivadas:
(Explicando: derivada de
é
; multiplicando pelo coeficiente
dá
.)
Passo 6
No ponto crítico de instabilidade devemos satisfazer simultaneamente
e as derivadas iguais. Da igualdade das derivadas isolamos
:
Substituímos esse
na condição de equilíbrio
. A igualdade
multiplicada por
é
Substituindo
da expressão anterior:
Simplificando
e fatorando
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos (para facilitar, definimos
):
Rearranjando:
Agora faça a substituição
(então
). A equação vira uma equação quadrática em
:
com
Passo 7
Resolvendo a quadrática
pelo fórmula de Bhaskara (escolhemos a raiz positiva, pois
):
Então
Agora calculamos numericamente
com as unidades SI (conversão):
Logo
Passo 8
Cálculo numérico de
e
. Usando
e
:
A raiz aproximada, por desenvolvimento assintótico (porque é muito maior que
), dá
A raiz aproximada, por desenvolvimento assintótico (porque
Portanto
Interpretação numérica: esse
é extremamente pequeno (nova extensão praticamente nula comparada a
), ou seja, o ponto de instabilidade estaria separado do estado inicial por um crescimento praticamente desprezível.
Passo 9
Cálculo da tensão crítica
. Usamos a relação obtida em Passo 6:
Substituindo valores numéricos (
,
):
logo
Comentário prático (rápido): esse valor é muito alto em relação a tensões usuais de escoamento de metais, o que indica que, com essa R-curve, a trinca não se tornará instável por crescimento frágil até tensões muito elevadas — na prática outros mecanismos (escoamento plástico, outras falhas) ocorrem antes.