Um time de futebol tem 70 \% de chance de vencer cada jogo que disputa, independentemente do resultado dos jogos anteriores. Se 0 time jogar 4 partidas, qual a probabilidade de vencer exatamente 3 delas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Probabilidade de vencer cada jogo: 70\%.
  • Os resultados de partidas são independentes entre si.
  • Número total de partidas jogadas: 4.
    Pergunta: qual a probabilidade de o time vencer exatamente 3 dessas 4 partidas?

Passo 2

Vamos traduzir o problema para linguagem de experimentos aleatórios (calma, explico devagar). Cada jogo é um teste com apenas dois resultados possíveis: “vitória” (sucesso) ou “não vitória” (falha). Quando temos vários testes independentes iguais a este, estamos no cenário clássico da distribuição binomial. A fórmula que usamos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde:
  • n é o número total de tentativas (aqui n=4);
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=3);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=0,7);
  • 1-p é a probabilidade de insucesso (aqui 1-p=0,3);
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k partidas entre n serão as vitórias (vou calcular já a seguir).

Passo 3

Calcular \binom{4}{3}, o número de sequências com exatamente 3 vitórias entre 4 jogos. Podemos usar a fórmula de combinações com fatoriais:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!\,1!}
Agora computa os fatoriais: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24 e 3!=6. Então
\binom{4}{3}=\frac{24}{6\cdot1}=4.
Intuição: entre 4 jogos há exatamente 4 escolhas possíveis de qual jogo será a derrota.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula binomial com n=4, k=3 e p=0,7:
P(X=3)=\binom{4}{3}\,(0,7)^{3}\,(0,3)^{1}.
Vamos calcular passo a passo:
(0,7)^{2}=0,49.
(0,7)^{3}=0,49\cdot0,7=0,343.
Multiplicando por 0,3: 0,343\cdot0,3=0,1029.
Agora multiplicamos pelo combinatório 4: 4\cdot0,1029=0,4116.

Passo 5

Interpretação final: a probabilidade de vencer exatamente 3 de 4 jogos, com p=0,7 por jogo e independência, é 0,4116. Em porcentagem, isso é 41,16\%. Vai dar tudo certo na prova — lembra desse passo a passo: combinações × p^k × (1-p)^{n-k}.

Resposta

0,4116