Um tipógrafo quer imprimir boletins com 512 cm^2 de texto impresso, com margens superior e inferior de 6 cm e margens laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimensões da folha para minimizar o gasto de papel?

Passo 1

Então, a gente tem um tipógrafo que quer imprimir boletins com uma área de texto de . Além disso, ele precisa deixar margens: 6 cm no topo e na parte de baixo, e 3 cm nas laterais. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões da folha inteira para usar a menor quantidade de papel possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em matemática, especialmente cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja a largura do texto impresso.
  • Seja a altura do texto impresso.
Sabemos que a área do texto é:
Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos considerar as margens. A folha inteira terá margens adicionadas ao texto impresso:
  • A largura total da folha será cm (3 cm de cada lado).
  • A altura total da folha será cm (6 cm no topo e na parte de baixo).

Passo 4

A gente quer minimizar a área total da folha, que é:
Substituindo da equação :
Então, substituindo na área:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação:
Multiplicando:

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que encontramos , vamos encontrar :

Resposta

As dimensões da folha para minimizar o gasto de papel são:
  • Largura total:
  • Altura total:

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