(Em todas as questões explique os procedimentos usados. Deixe a resposta em função dos dados do problema)
Calcule o campo elétrico interno e externo gerado por uma esfera isolante de raio a e com uma carga q com densidade de carga dada por rho=Q0 r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora de uma esfera isolante de raio $ a $, que tem uma carga total $ q $ distribuída de maneira que a densidade de carga é $ \rho = Q_{0} r $. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de carga $ \rho = Q_{0} r $. Isso significa que a quantidade de carga por unidade de volume varia com a distância $ r $ do centro da esfera. Para encontrar o campo elétrico, precisamos saber como a carga está distribuída dentro da esfera.

Passo 3

Vamos calcular a carga total $ q $ da esfera. Isso é feito integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera:
q
Com isso, podemos relacionar $ Q_{0} $ e $ q $:
q = integral0^a rho , dV = integral0^a Q0 r cdot 4pi r^2 dr = 4pi Q0 integral0^a r^3 dr = 4pi Q0 [ r^44 ]0^a = pi Q0 a^4

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico interno ($ r < a $). Usando a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $. A carga dentro dessa superfície é:
r < a
Substituindo $ Q_{0} $:
r
A Lei de Gauss nos diz que:
Qenc = integral0^r rho , dV = integral0^r Q0 r' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi Q0 integral0^r r'^3 dr' = pi Q0 r^4
Então, isolando $ E $:
Q0

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico externo ($ r \geq a $). Para essa região, toda a carga $ q $ da esfera está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
r >= a

Resposta

Portanto, o campo elétrico gerado pela esfera isolante é:
E(r) = dfracq r^24pi varepsilon0 a^4 & para r < a dfracq4pi varepsilon0 r^2 & para r >= a

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