(Em todas as questões explique os procedimentos usados. Deixe a resposta em função dos dados do problema)
Calcule o campo elétrico interno e externo gerado por uma esfera isolante de raio
e com uma carga
com densidade de carga dada por
.
Calcule o campo elétrico interno e externo gerado por uma esfera isolante de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora de uma esfera isolante de raio $ a $, que tem uma carga total $ q $ distribuída de maneira que a densidade de carga é $ \rho = Q_{0} r $. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de carga $ \rho = Q_{0} r $. Isso significa que a quantidade de carga por unidade de volume varia com a distância $ r $ do centro da esfera. Para encontrar o campo elétrico, precisamos saber como a carga está distribuída dentro da esfera.
Passo 3
Vamos calcular a carga total $ q $ da esfera. Isso é feito integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera:
Com isso, podemos relacionar $ Q_{0} $ e $ q $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico interno ($ r < a $). Usando a Lei de Gauss, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $. A carga dentro dessa superfície é:
Substituindo $ Q_{0} $:
A Lei de Gauss nos diz que:
Então, isolando $ E $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico externo ($ r \geq a $). Para essa região, toda a carga $ q $ da esfera está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
Portanto, o campo elétrico gerado pela esfera isolante é: