a. Se, para todo
próximo de zero, vale
então, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de zero. Isso envolve entender limites e usar desigualdades para chegar à resposta. Vamos precisar lembrar como funciona o limite e a ideia de “ameaçar” o valor que queremos encontrar usando funções que estão “entre” elas.
Passo 2
Primeiro, olha só a desigualdade que foi dada:
Essa desigualdade diz que a expressão
fica sempre entre
e
para valores de
bem próximos de zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando
se aproxima de zero. O termo
tende a zero porque
fica bem pequeno. Então, a parte da esquerda da desigualdade,
, também se aproxima de
.
Passo 4
Com isso, temos que a expressão
está “presa” entre dois valores que, quando
vai para zero, ambos se aproximam de
. Isso é a essência do Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich), que nos diz que se uma função está limitada por duas outras que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Aperto aqui, já que:
e
então
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de zero é
.