1. Tópico 2: Três cargas pontuais Q_{1}, Q_{2} e Q_{3} de -4 \mathrm{mC},-7 \mathrm{mC} \mathrm{e}-6 \mathrm{mC} situadas no vácuo em (-1,-5), (-8,-3) e (4,-1), respectivamente.
c) Quais são os vetores das forças elétricas entre as cargas ao se alterar o valor da carga Q_{3} para +6 mC ? Qual é a força resultante na carga Q_{3} ? Apresente uma análise crítica dos resultados, realizando uma comparação com os obtidos nos itens (a) e (b).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá (tudo que vem do enunciado):
  • São três cargas pontuais com valores e posições (peguei esses números do enunciado):
    • Q_{1}=-4\times10^{-3}\\ \mathrm{C} em (-1,-5).
    • Q_{2}=-7\times10^{-3}\\ \mathrm{C} em (-8,-3).
    • Q_{3}=+6\times10^{-3}\\ \mathrm{C} em (4,-1) — atenção: aqui o enunciado pede que alteremos Q_{3} para +6\\ \mathrm{mC}.
  • Perguntas a responder:
    1. Quais são os vetores das forças elétricas entre as cargas (isto é, forças par a par) com Q_{3}=+6\\ \mathrm{mC}?
    2. Qual é a força resultante sobre a carga Q_{3} (vetor soma das forças sobre Q_{3})?
    3. Fazer uma análise crítica e comparar com os resultados obtidos nos itens (a) e (b) (que correspondem, no enunciado original, à configuração anterior onde Q_{3} era -6\\ \mathrm{mC}).

Passo 2

Fórmula e ideia física (aula compacta e intuitiva sobre o que vamos usar).
  • Lei de Coulomb (forma vetorial): \mathbf{F}_{i\leftarrow j}=k\;q_i q_j\;\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j}{\lVert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\rVert^{3}},
onde:
  • \mathbf{F}_{i\leftarrow j} é a força sobre a carga q_i causada pela carga q_j.
  • k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} é a constante eletrostática no vácuo.
  • \mathbf{r}_i e \mathbf{r}_j são os vetores posição (em metros) das cargas i e j.
  • \lVert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\rVert é a distância entre as cargas.
  • Interpretação física da fórmula: o produto q_i q_j decide se a força é de atração (produto negativo) ou repulsão (produto positivo); a direção é ao longo da reta que une as cargas; o módulo cai com o cubo da distância no fator unitário porque há um \mathbf{r} no numerador e \lVert\mathbf{r}\rVert^{3} no denominador, o que dá o comportamento 1/r^{2} para o módulo da força.
  • Conversão para SI: cargas em miliCoulomb \Rightarrow multiplicar por 10^{-3}. Distâncias dadas em unidades cartesianas (assumimos metros); manter unidades consistentes.

Passo 3

Calcular vetores de posição relativos e distâncias (contas passo a passo).
Posições (em metros):
\mathbf{r}_1=(-1,-5),\qquad \mathbf{r}_2=(-8,-3),\qquad \mathbf{r}_3=(4,-1).
Vetores relativos úteis (vou usar \mathbf{r}_{i j}=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j):
\mathbf{r}_{3 1}=\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1=(4-(-1),\,-1-(-5))=(5,\,4).
\mathbf{r}_{3 2}=\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2=(4-(-8),\,-1-(-3))=(12,\,2).
\mathbf{r}_{1 2}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=(-1-(-8),\,-5-(-3))=(7,\,-2).
Distâncias (módulos):
\lVert\mathbf{r}_{3 1}\rVert=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}\approx6{,}4031,
\lVert\mathbf{r}_{3 2}\rVert=\sqrt{12^{2}+2^{2}}=\sqrt{148}\approx12{,}1655,
\lVert\mathbf{r}_{1 2}\rVert=\sqrt{7^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{53}\approx7{,}2801.

Passo 4

Cálculo das forças par a par envolvendo Q_{3} (detalhar cada operação aritmética).
Primeiro, valores numéricos das cargas em Coulomb (SI):
q_1=-4\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\qquad q_2=-7\times10^{-3}\\ \mathrm{C},\qquad q_3=+6\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
Força sobre Q_{3} devido a Q_{1} (usando a fórmula):
\mathbf{F}_{3\leftarrow1}=k\,q_3 q_1\,\frac{\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1}{\lVert\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1\rVert^{3}}.
Computando o coeficiente escalar:
k\,q_3 q_1=8{,}99\times10^{9}\cdot(6\times10^{-3})\cdot(-4\times10^{-3})=-2{,}1576\times10^{5}.
O denominador \lVert\mathbf{r}_{31}\rVert^{3}=(\sqrt{41})^{3}=41\sqrt{41}\approx262{,}527.
Logo o fator escalar é
\frac{k\,q_3 q_1}{\lVert\mathbf{r}_{31}\rVert^{3}}\approx\frac{-2{,}1576\times10^{5}}{262{,}527}\approx-822{,}0.
Multiplicando pelo vetor \mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1=(5,4):
\mathbf{F}_{3\leftarrow1}\approx(-822{,}0\cdot5,\,-822{,}0\cdot4)\\ \mathrm{N}\approx(-4{,}11\times10^{3},\,-3{,}29\times10^{3})\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: negativo no coeficiente porque q_1 é negativa e q_3 positiva \Rightarrow atração; o vetor aponta da carga 3 para a carga 1 (isto é, para a esquerda e para baixo).
Agora a força sobre Q_{3} devido a Q_{2}:
\mathbf{F}_{3\leftarrow2}=k\,q_3 q_2\,\frac{\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2}{\lVert\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2\rVert^{3}}.
Coeficiente escalar:
k\,q_3 q_2=8{,}99\times10^{9}\cdot(6\times10^{-3})\cdot(-7\times10^{-3})=-3{,}7758\times10^{5}.
Denominador \lVert\mathbf{r}_{32}\rVert^{3}=(\sqrt{148})^{3}=148\sqrt{148}\approx1{,}800{,}498.
Fator escalar:
\frac{k\,q_3 q_2}{\lVert\mathbf{r}_{32}\rVert^{3}}\approx\frac{-3{,}7758\times10^{5}}{1{,}800{,}498}\approx-209{,}77.
Multiplicando pelo vetor \mathbf{r}_3-\mathbf{r}_2=(12,2):
\mathbf{F}_{3\leftarrow2}\approx(-209{,}77\cdot12,\,-209{,}77\cdot2)\\ \mathrm{N}\approx(-2{,}52\times10^{3},\,-4{,}20\times10^{2})\\ \mathrm{N},
mais precisamente (-2{,}517{,}2\times10^{3},\,-4{,}195\times10^{2})\\ \mathrm{N}.
Observação sobre as forças envolvendo Q_{1} e Q_{2} entre si (não mudam quando alteramos Q_{3}):
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}=k\,q_1 q_2\,\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{\lVert\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\rVert^{3}}.
Calculando rapidamente (para completar o quadro):
q_1 q_2=( -4\times10^{-3})(-7\times10^{-3})=+2{,}8\times10^{-5},
k\,q_1 q_2=8{,}99\times10^{9}\cdot2{,}8\times10^{-5}=2{,}5172\times10^{5},
\lVert\mathbf{r}_{12}\rVert^{3}=(\sqrt{53})^{3}=53\sqrt{53}\approx385{,}845,
\frac{k\,q_1 q_2}{\lVert\mathbf{r}_{12}\rVert^{3}}\approx652{,}6,
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}\approx(652{,}6\cdot7,\;652{,}6\cdot(-2))\\ \mathrm{N}\approx(4{,}57\times10^{3},\,-1{,}31\times10^{3})\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Forças recíprocas (Terceira Lei de Newton) e organização dos vetores para leitura:
  • Força sobre Q_{1} devido a Q_{3}: \mathbf{F}_{1\leftarrow3}=-\mathbf{F}_{3\leftarrow1}.
  • Força sobre Q_{2} devido a Q_{3}: \mathbf{F}_{2\leftarrow3}=-\mathbf{F}_{3\leftarrow2}.
  • Força entre Q_1 e Q_2 já calculada \mathbf{F}_{1\leftarrow2} e \mathbf{F}_{2\leftarrow1}=-\mathbf{F}_{1\leftarrow2}.
Escrevendo numericamente (valores aproximados com três algarismos significativos):
\mathbf{F}_{3\leftarrow1}\approx(-4{,}11\times10^{3},\,-3{,}29\times10^{3})\\ \mathrm{N},
\mathbf{F}_{3\leftarrow2}\approx(-2{,}52\times10^{3},\,-4{,}20\times10^{2})\\ \mathrm{N},
\mathbf{F}_{1\leftarrow3}\approx(+4{,}11\times10^{3},\,+3{,}29\times10^{3})\\ \mathrm{N},
\mathbf{F}_{2\leftarrow3}\approx(+2{,}52\times10^{3},\,+4{,}20\times10^{2})\\ \mathrm{N},
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}\approx(+4{,}57\times10^{3},\,-1{,}31\times10^{3})\\ \mathrm{N},
\mathbf{F}_{2\leftarrow1}\approx(-4{,}57\times10^{3},\,+1{,}31\times10^{3})\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Força resultante sobre Q_{3} (soma vetorial das contribuições de Q_{1} e Q_{2}).
Somando componentes:
F_{3x}=(-4{,}11\times10^{3})+(-2{,}52\times10^{3})\approx-6{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{N},
F_{3y}=(-3{,}29\times10^{3})+(-4{,}20\times10^{2})\approx-3{,}71\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Módulo da força resultante:
\lVert\mathbf{F}_3\rVert=\sqrt{F_{3x}^{2}+F_{3y}^{2}}\approx\sqrt{(-6{,}63\times10^{3})^{2}+(-3{,}71\times10^{3})^{2}}\approx7{,}59\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Direção (ângulo medido a partir do eixo +x, no sentido anti-horário): como ambas as componentes são negativas, o vetor está no terceiro quadrante. Tomando a tangente:
\theta=\arctan\!\left(\frac{F_{3y}}{F_{3x}}\right)\approx\arctan(0{,}559)\approx29{,}2^\circ.
Portanto o ângulo da direção (medido a partir de +x) é aproximadamente 180^\circ+29{,}2^\circ\approx209{,}2^\circ.
Interpretação física curta: Q_{3} é atraída tanto por Q_{1} quanto por Q_{2} (ambas negativas), e a força resultante aponta para baixo e para a esquerda, de módulo cerca de 7{,}6\\ \mathrm{kN}.

Passo 7

Análise crítica e comparação com os itens (a) e (b) (comentário didático e motivador).
  • O que muda ao trocar Q_{3} de -6\\ \mathrm{mC} para +6\\ \mathrm{mC}:
    • A magnitude das forças par-a-par que envolvem Q_{3} depende de |q_3|. Como trocamos apenas o sinal e mantivemos o mesmo módulo ( 6\\ \mathrm{mC}), as magnitudes das forças entre Q_{3} e Q_{1} e entre Q_{3} e Q_{2} permanecem as mesmas que no caso com Q_{3}=-6\\ \mathrm{mC}.
    • O que muda é a direção: com Q_{3}=-6\\ \mathrm{mC} (caso anterior nos itens (a)/(b)) as interações com Q_{1} e Q_{2} eram repulsivas (cargas do mesmo sinal) e portanto as forças apontavam para longe das outras cargas; agora, com Q_{3}=+6\\ \mathrm{mC}, as interações com Q_{1} e Q_{2} são atrativas (sinais opostos) e as forças apontam em sentido oposto às do caso anterior. Em resumo: sinais invertidos \Rightarrow direções invertidas; magnitudes iguais.
  • Consequências práticas:
    • A força resultante em Q_{3} tem magnitude praticamente igual à do caso com Q_{3}=-6\\ \mathrm{mC} mas aponta na direção oposta. Assim, a aceleração instantânea que Q_{3} sofreria (se fosse livre para mover-se) mudaria de sentido.
    • As forças entre Q_{1} e Q_{2} não são afetadas por essa troca (são as mesmas de antes), o que é uma boa checagem de consistência numérica do problema.
  • Coerência física e checagens:
    • Terça lei: confere — \mathbf{F}_{3\leftarrow1}=-\mathbf{F}_{1\leftarrow3} e \mathbf{F}_{3\leftarrow2}=-\mathbf{F}_{2\leftarrow3}.
    • Mudança apenas no sinal de q_3 não altera a conservação das leis básicas; apenas altera quem atrai ou repele quem.
  • Observação final motivadora: ao estudar para a prova, fixe essa ideia prática: trocar o sinal de uma carga inverte sentido de todas as forças que a envolvem, mas não altera os módulos (se o valor absoluto permanece); isso facilita muito quando se compara casos diferentes durante a prova — basta inverter direções, mantendo os cálculos de módulos.

Resposta

\mathbf{F}_{3\leftarrow1}\approx(-4{,}11\times10^{3},\\\ -3{,}29\times10^{3})\\ \mathrm{N}
\mathbf{F}_{3\leftarrow2}\approx(-2{,}52\times10^{3},\\\ -4{,}20\times10^{2})\\ \mathrm{N}
\mathbf{F}_{1\leftarrow3}\approx(+4{,}11\times10^{3},\\\ +3{,}29\times10^{3})\\ \mathrm{N}
\mathbf{F}_{2\leftarrow3}\approx(+2{,}52\times10^{3},\\\ +4{,}20\times10^{2})\\ \mathrm{N}
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}\approx(+4{,}57\times10^{3},\\\ -1{,}31\times10^{3})\\ \mathrm{N}
Força resultante sobre Q_{3}: \mathbf{F}_{3}\approx(-6{,}63\times10^{3},\\\ -3{,}71\times10^{3})\\ \mathrm{N}, \lVert\mathbf{F}_{3}\rVert\approx7{,}59\times10^{3}\\ \mathrm{N}, direção \approx209{,}2^\circ (medida a partir do eixo +x).

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