1. Tópico 3: Três cargas pontuais Q_{1}, Q_{2} e Q_{3} de -4 \mathrm{mC},-7 \mathrm{mC} \mathrm{e}-6 \mathrm{mC} situadas no vácuo em ( -1,-5 ), (-8,-3) e (4,-1), respectivamente.
b) O que acontece se alterar o valor da carga Q_{3} para +3 mC ? Faça uma análise crítica do resultado.

Passo 1

O enunciado nos dá três cargas pontuais no vácuo, com posições e valores (peguei todos os números do enunciado):
  • Q_{1} = -4\\ \mathrm{mC} em (-1,-5).
  • Q_{2} = -7\\ \mathrm{mC} em (-8,-3).
  • Q_{3} inicialmente era -6\\ \mathrm{mC} em (4,-1), mas a pergunta (item b) pede para analisar o que acontece se alterarmos Q_{3} para +3\\ \mathrm{mC}.
O que se pede em (b) é uma análise crítica do efeito dessa alteração: ou seja, como mudam as forças sobre Q_{3} (direção e magnitude), como muda a energia eletrostática relacionada a Q_{3}, e quais são as consequências qualitativas (atração/repulsão, estabilidade, etc.). Vou calcular forças vetoriais e energias e, a partir disso, fazer a interpretação crítica.

Passo 2

Relembrando as fórmulas básicas (explicação didática):
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas pontuais):
F = k\,\frac{|Q_a Q_b|}{r^{2}}
onde k \approx 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, Q_a,Q_b são as cargas em coulombs e r é a distância entre elas em metros.
  • Força é um vetor: a direção é radial (linha que une as cargas). O sentido depende do sinal: cargas de sinais iguais se repelem (força sobre cada carga aponta para longe da outra), sinais opostos se atraem (força aponta na direção da outra).
  • Princípio da superposição: força resultante sobre Q_{3} é soma vetorial das forças exercidas por Q_{1} e por Q_{2}.
  • Potencial elétrico criado por uma carga pontual Q a uma distância r é
V = k\,\frac{Q}{r},
e o potencial total é soma dos potenciais das fontes. A energia potencial de Q_{3} em um potencial V é
U = Q_{3}\,V.
Importante: V no ponto de Q_{3} depende só de Q_{1} e Q_{2} (não depende de Q_{3}), mas U depende de Q_{3}.

Passo 3

Calcular distâncias vetoriais e módulos entre Q_{3} e as outras cargas (mostrando passo a passo):
  • Vetor de Q_{3} para Q_{1}:
\vec r_{31} = (x_1-x_3,y_1-y_3)=(-1-4,\,-5-(-1)) = (-5,\,-4).
Módulo:
r_{13} = \sqrt{(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\approx 6{,}403\\ \mathrm{m}.
  • Vetor de Q_{3} para Q_{2}:
\vec r_{32} = (x_2-x_3,y_2-y_3)=(-8-4,\,-3-(-1)) = (-12,\,-2).
Módulo:
r_{23} = \sqrt{(-12)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}\approx12{,}166\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as forças sobre Q_{3} quando Q_{3}=+3\\ \mathrm{mC} (procedimento detalhado):
  • Converto as cargas para coulombs: Q_{1}=-4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}, Q_{2}=-7{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}, Q_{3}=+3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
  • Módulo da força de Q_{1} sobre Q_{3}:
F_{13} = k\,\frac{|Q_{1}Q_{3}|}{r_{13}^{2}} =9{,}0\times10^{9}\,\frac{(4{,}0\times10^{-3})(3{,}0\times10^{-3})}{(\sqrt{41})^{2}} =9{,}0\times10^{9}\,\frac{12{,}0\times10^{-6}}{41}.
Fazendo as contas (passo a passo):
9{,}0\times10^{9}\times12{,}0\times10^{-6}=108{,}0\times10^{3}=1{,}08\times10^{5},
F_{13}=\frac{1{,}08\times10^{5}}{41}\approx 2{,}634\\ \mathrm{N}.
Direção: Q_{1} é negativa e Q_{3} positiva, logo a força sobre Q_{3} é de atração, ou seja, aponta no sentido de \vec r_{31}=(-5,-4). Componentes (usando a unidade de \vec r_{31}):
\hat u_{31}=\frac{(-5,-4)}{\sqrt{41}}\approx(-0{,}781,\,-0{,}625).
\vec F_{13}\approx 2{,}634\;(-0{,}781,\,-0{,}625)\\ \mathrm{N}\approx(-2{,}057,\,-1{,}645)\\ \mathrm{N}.
  • Módulo da força de Q_{2} sobre Q_{3}:
F_{23}=k\,\frac{|Q_{2}Q_{3}|}{r_{23}^{2}} =9{,}0\times10^{9}\,\frac{(7{,}0\times10^{-3})(3{,}0\times10^{-3})}{148} =9{,}0\times10^{9}\,\frac{21{,}0\times10^{-6}}{148}.
Cálculo:
9{,}0\times10^{9}\times21{,}0\times10^{-6}=189{,}0\times10^{3}=1{,}89\times10^{5},
F_{23}=\frac{1{,}89\times10^{5}}{148}\approx1{,}277\\ \mathrm{N}.
Direção: Q_{2} negativa e Q_{3} positiva → atração, aponta na direção de \vec r_{32}=(-12,-2). Unidade:
\hat u_{32}=\frac{(-12,-2)}{\sqrt{148}}\approx(-0{,}987,\,-0{,}165).
\vec F_{23}\approx 1{,}277\;(-0{,}987,\,-0{,}165)\\ \mathrm{N}\approx(-1{,}260,\,-210)\\ \mathrm{N}.
  • Força resultante sobre Q_{3} (soma vetorial):
\vec F_{3}=\vec F_{13}+\vec F_{23}\approx(-2{,}057,-1{,}645)+(-1{,}260,-210)\\ \mathrm{N} \approx(-3{,}317,\,-1{,}855)\\ \mathrm{N}.
Módulo e direção:
|\vec F_{3}|\approx\sqrt{(-3{,}317)^{2}+(-1{,}855)^{2}}\approx3{,}800\\ \mathrm{N}.
Direção: esse vetor aponta para o terceiro quadrante (para a esquerda e para baixo). Em ângulo medido a partir do eixo +x (sentido anti-horário) dá aproximadamente 209{,}2^\circ (ou -150{,}8^\circ).
Observação numérica importante: como Q_{3} foi reduzido de |6|\\ \mathrm{mC} para 3\\ \mathrm{mC} (metade do valor original em módulo) e trocou de sinal, as forças mudam em duas maneiras: o sinal (direção) inverte em relação ao caso Q_{3}=-6\\ \mathrm{mC} e a magnitude escala aproximadamente com |Q_{3}|, ou seja, ficou metade da magnitude que teria com |Q_{3}|=6\\ \mathrm{mC}. (Se desejar, eu calculo explicitamente o caso original para comparar numérico.)

Passo 5

Calcular o potencial elétrico no ponto onde está Q_{3} (crucial para entender energia) e a energia potencial antes e depois da mudança (passo a passo e interpretação):
  • Potencial no ponto de Q_{3} devido a Q_{1} e Q_{2}:
V(\text{em }Q_{3})=k\!\left(\frac{Q_{1}}{r_{13}}+\frac{Q_{2}}{r_{23}}\right).
Substituindo Q_{1}=-4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}, Q_{2}=-7{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}, e distâncias:
\frac{Q_{1}}{r_{13}}=\frac{-4{,}0\times10^{-3}}{6{,}403}\approx-0{,}0006246\\ \mathrm{C/m},
\frac{Q_{2}}{r_{23}}=\frac{-7{,}0\times10^{-3}}{12{,}166}\approx-0{,}0005756\\ \mathrm{C/m}.
V\approx 9{,}0\times10^{9}\times(-0{,}0012002)\\ \mathrm{V}\approx -1{,}08\times10^{7}\\ \mathrm{V}.
  • Energia potencial de Q_{3} em V:
U=Q_{3}\,V.
Para Q_{3} original ( -6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}):
U_{\text{orig}} = (-6{,}0\times10^{-3})\times(-1{,}08\times10^{7})\\ \mathrm{J}\approx +6{,}48\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Para Q_{3} novo ( +3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}):
U_{\text{novo}} = (+3{,}0\times10^{-3})\times(-1{,}08\times10^{7})\\ \mathrm{J}\approx -3{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: o potencial V no local era negativo (porque Q_{1} e Q_{2} são negativas). Com Q_{3} negativo, U era positivo (sinal negativo do potencial vezes carga negativa → energia positiva), indicando que montar essa configuração exigiria trabalho (as cargas iguais se repelem). Com Q_{3} positivo, U fica negativo: o sistema fica energeticamente mais ligado — trazer Q_{3} positivo desde o infinito liberaria energia (energia liberada \approx3{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{J}).

Passo 6

Análise crítica e consequências qualitativas (resumindo e comentando implicações físicas):
  • Mudança de sinal de Q_{3} inverte os sentidos das forças exercidas por Q_{1} e Q_{2} sobre Q_{3}: antes (com Q_{3} negativo) as forças de Q_{1} e Q_{2} sobre Q_{3} eram repulsivas (apontavam para longe de Q_{1} e Q_{2}); depois (com Q_{3} positivo) ambas são atrativas (apontam para Q_{1} e Q_{2}). Portanto o sentido resultante se inverte por completo.
  • Magnitude das forças depende linearmente de |Q_{3}|. Ao trocar |Q_{3}| de 6\\ \mathrm{mC} para 3\\ \mathrm{mC} a força resultante reduz aproximadamente pela metade. Em números: com Q_{3}=+3\\ \mathrm{mC} a força resultante tem módulo \approx3{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{N} para a esquerda e para baixo; com Q_{3}=-6\\ \mathrm{mC} o módulo seria cerca do dobro ( \approx7{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{N}) e apontaria simetricamente ao contrário (direita e cima).
  • Energia: o sinal da energia potencial associada a Q_{3} muda de positivo para negativo ao trocar o sinal de Q_{3}. Isso tem grande implicação física: com Q_{3} positivo o sistema libera energia quando Q_{3} é posto no lugar (ou seja, Q_{3} é atraído e pode colidir com as cargas negativas a menos que haja equilíbrio ou força externa). Com Q_{3} negativo a configuração era energeticamente desfavorável (é preciso fornecer energia para mantê-la).
  • Estabilidade: com Q_{3}=+3\\ \mathrm{mC} as forças atraem Q_{3} para as cargas negativas; não há razão para existir um ponto estável de repouso absoluto (a menos que se introduzam forças externas ou velocidades iniciais específicas). Portanto, trocar o sinal tende a aumentar a tendência de aproximação e possível movimento acelerado em direção às outras cargas (o que, em um arranjo real, pode levar a descarga, neutralização parcial ou outras interações não-elétricas se as partículas se aproximarem demais).
  • Efeito sobre carga total e campo a longa distância: a carga total do sistema passa de -17\\ \mathrm{mC} (caso original) para -8\\ \mathrm{mC} (após a mudança). Assim, o campo elétrico à grande distância ainda se comporta como o de uma carga negativa líquida, mas de menor magnitude; isso altera o comportamento do campo global e a energia armazenada no campo.
  • Comentário prático: os valores das forças calculadas são grandes (ordem de kN) porque estamos usando miliCoulombs e distâncias de poucos metros — cargas tão grandes, em prática, causariam ionização do ar, descarga, etc. Então, embora a análise eletrostática ideal faça sentido matematicamente, fisicamente cargas tão grandes e próximas dificilmente permanecem isoladas no vácuo sem efeitos não-ideais.

Resposta

\vec F_{3}\approx(-3{,}317\\ \mathrm{N},\,-1{,}855\\ \mathrm{N}) (componentes x,y), |\vec F_{3}|\approx3{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N}, direção aproximada 209{,}2^\circ a partir do eixo +x.\n
Energia potencial associada a Q_{3}: U_{\text{novo}}\approx -3{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{J} (isto é, muda de positivo para negativo ao trocar o sinal de Q_{3}).\n
Conclusão qualitativa: trocar Q_{3} para +3\\ \mathrm{mC} inverte o sentido das forças (de repulsão para atração em relação a Q_{1},Q_{2}), reduz a magnitude total da força (aproximadamente pela metade em comparação a |Q_{3}|=6\\ \mathrm{mC}), altera o sinal da energia potencial (indicando que o novo arranjo é energeticamente ligado) e diminui a carga total do sistema para -8\\ \mathrm{mC}.

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