Um toroide de seção reta circular cujo centro de sua seção reta encontra-se na origem e seu eixo coincide com o eixo z, tem 1.000 espiras \operatorname{com} \rho_{0}=10 \mathrm{~cm} e a=1 \mathrm{~cm}. Se o toroide é percorrido por uma corrente de 100 mA , determine |H| em:
(a) (3 \mathrm{~cm},-4 \mathrm{~cm}, 0);

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que nos pediram):
  • Temos um toroide de seção reta circular cujo centro da seção está na origem e eixo ao longo do eixo z.
  • Número de espiras: N=1000.
  • Raio médio do toroide: \rho_0=10\\ \text{cm}.
  • Raio da seção (raio do “fio enrolado” / raio do núcleo): a=1\\ \text{cm}.
  • Corrente em cada espira: I=100\\ \text{mA}=0{,}100\\ \text{A}.
  • Ponto onde querem |H|: (3\\ \text{cm},-4\\ \text{cm},0).
Pergunta: determinar |H| no ponto dado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a distância radial \rho do ponto ao eixo z. Em coordenadas cilíndricas a distância ao eixo z é a raiz quadrada de x^2+y^2. Aqui x=3\\ \text{cm} e y=-4\\ \text{cm}. Então
\rho=\sqrt{3^2+(-4)^2}\\ \text{cm}=\sqrt{9+16}\\ \text{cm}=\sqrt{25}\\ \text{cm}=5\\ \text{cm}.
Em unidades do SI: \rho=0{,}05\\ \text{m}. (Converti para metros para ficar coerente se precisarmos.)

Passo 3

Explicar a lei de Ampère aplicada ao toroide (a ideia física e fórmula que usamos):
  • A lei integral de Ampère, para campos magnéticos em regime estacionário, diz que para um caminho fechado qualquer
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente livre total atravessando a superfície limitada pelo caminho.
  • Para um toroide com simetria toroidal, escolhemos um caminho amperiano circular coaxial com o eixo z (raio constante \rho). Nesse caso \mathbf{H} é tangencial (direção \hat{\varphi}) e de módulo constante ao longo do caminho, então
H(2\pi \rho)=I_{\text{enc}} \quad\Rightarrow\quad H=\frac{I_{\text{enc}}}{2\pi \rho}.
  • Se o caminho circular envolver todas as N espiras (isto é, se ele estiver passando dentro do núcleo toroidal, entre \rho_0-a e \rho_0+a), então cada espira contribui com corrente I atravessando a superfície, de modo que I_{\text{enc}}=N I. Nesse caso obtemos a expressão usual dentro do núcleo
H_\varphi(\rho)=\frac{N I}{2\pi \rho},\qquad \text{para }\rho_0-a<\rho<\rho_0+a.
  • Se o caminho ficar inteiramente no interior do “buraco” do toroide (isto é, \rho<\rho_0-a), ele não atravessa espiras: matematicamente I_{\text{enc}}=0 e, portanto,
H=0\quad\text{para }\rho<\rho_0-a.
  • Analogamente, para \rho>\rho_0+a (fora do toroide) o valor ideal para H é também zero (campo confinado ao núcleo), no modelo ideal de toroide.

Passo 4

Determinar os limites radial do núcleo do toroide:
  • Raio interno do núcleo: \rho_{\text{int}}=\rho_0-a.
\rho_{\text{int}}=10\\ \text{cm}-1\\ \text{cm}=9\\ \text{cm}=0{,}09\\ \text{m}.
  • Raio externo do núcleo: \rho_{\text{ext}}=\rho_0+a.
\rho_{\text{ext}}=10\\ \text{cm}+1\\ \text{cm}=11\\ \text{cm}=0{,}11\\ \text{m}.
Comparando: o ponto tem \rho=5\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}, e isso satisfaz
\rho<\rho_{\text{int}} \quad\text{(pois }0{,}05\\ \text{m}<0{,}09\\ \text{m}\text{)}.

Passo 5

Conclusão física/imediata a partir da lei de Ampère:
  • Como o ponto está dentro do buraco central do toroide ( \rho<\rho_0-a), qualquer caminho circular coaxial passando por esse ponto não engloba nenhuma espira: I_{\text{enc}}=0.
  • Pelo argumento de Ampère, o módulo do vetor intensidade de campo magnético é
H=0\\ \text{A/m}
no modelo ideal de toroide (campo confinado ao núcleo). Intuitivamente: o campo magnético de um toroide ideal fica restrito ao interior do anel; no centro do buraco o campo é nulo.

Resposta

0 A/m

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