Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A taxa de calor em b;

Passo 1

O enunciado descreve um sistema esférico em regime estacionário sem geração, com três superfícies concêntricas:
– Superfície interna em r=R_{1} sujeita a convecção para um fluido a T_{1} com coeficiente h_{1}.
– Casca 1 (isolante) de R_{1} até R_{2} com condutividade k_{1}.
– Casca 2 (material metálico) de R_{2} até R_{3} com condutividade k.
– Superfície externa em r=R_{3} sujeita a convecção para um fluido a T_{2} com coeficiente h_{2}.
Precisamos usar o modelo de resistências térmicas em coordenas esféricas e calcular a taxa de calor que sai na superfície b, ou seja, em r=R_{3}.

Passo 2

Montamos o circuito de resistências térmicas em série:
R_{\text{conv,\,in}}=\frac{1}{4\pi R_{1}^{2}h_{1}}, \quad R_{\text{cond,\,1}}=\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr),
R_{\text{cond,\,2}}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr), \quad R_{\text{conv,\,out}}=\frac{1}{4\pi R_{3}^{2}h_{2}}.
A resistência total é
R_{\text{tot}} =R_{\text{conv,\,in}} +R_{\text{cond,\,1}} +R_{\text{cond,\,2}} +R_{\text{conv,\,out}}.

Passo 3

Substituindo os valores (com R_{1}=0{,}10,m, R_{2}=0{,}20,m, R_{3}=0{,}25,m, h_{1}=12,W/m²K, k_{1}=0{,}05,W/mK, k=14,W/mK, h_{2}=5,W/m²K):
R_{\text{conv,\,in}} =\frac{1}{4\pi(0{,}10)^{2}\cdot12} \approx0{,}664\;\text{K/W},
R_{\text{cond,\,1}} =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}05}\Bigl(\frac{1}{0{,}10}-\frac{1}{0{,}20}\Bigr) =\frac{1}{0{,}2\pi}(10-5) =\frac{5}{0{,}2\pi} \approx7{,}958\;\text{K/W},
R_{\text{cond,\,2}} =\frac{1}{4\pi\cdot14}\Bigl(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}25}\Bigr) =\frac{1}{56\pi}(5-4) \approx0{,}00568\;\text{K/W},
R_{\text{conv,\,out}} =\frac{1}{4\pi(0{,}25)^{2}\cdot5} \approx0{,}255\;\text{K/W}.

Passo 4

Somando
R_{\text{tot}} \approx0{,}664+7{,}958+0{,}00568+0{,}255 \approx8{,}883\;\text{K/W}.

Passo 5

A taxa de calor em b ( r=R_{3}) é
Q =\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\text{tot}}} =\frac{120\,^{\circ}\mathrm{C}-25\,^{\circ}\mathrm{C}}{8{,}883\;\mathrm{K/W}} \approx10{,}7\;\mathrm{W}.

Resposta

A taxa de calor em b é aproximadamente 10{,}7,W.

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