Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A temperatura em b;

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera interna de raio R_{1}=0,10\:\mathrm{m} submetida a convecção interna com coeficiente h_{1}=12\:\mathrm{W/m^{2}K} e temperatura do fluido \,T_{1}=120\,^{\circ}\mathrm{C}. À sua volta existem duas camadas concêntricas até o raio R_{3}=0,25\:\mathrm{m}:
– de R_{1} a R_{2}=0,20\:\mathrm{m} com condutividade térmica k=14\:\mathrm{W/mK},
– de R_{2} a R_{3} com condutividade k_{1}=0{,}05\:\mathrm{W/mK}.
Por fim há convecção externa em R_{3} com h_{2}=5\:\mathrm{W/m^{2}K} e fluido à T_{2}=25\,^{\circ}\mathrm{C}. Queremos a temperatura da superfície externa, isto é T_{b}=T(R_{3}).

Passo 2

Em regime permanente sem geração de calor, montamos a rede de resistências térmicas em série:
  1. convecção interna em R_{1},
  2. condução esférica na camada de metal ( R_{1}\to R_{2}),
  3. condução esférica na camada isolante ( R_{2}\to R_{3}),
  4. convecção externa em R_{3}.
    A corrente térmica (fluxo) é
Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{conv},i}+R_{\mathrm{cond},1}+R_{\mathrm{cond},2}+R_{\mathrm{conv},o}}.

Passo 3

Escrevemos cada resistência:
R_{\mathrm{conv},i}=\frac{1}{h_{1}\,4\pi R_{1}^{2}}, \qquad R_{\mathrm{cond},1}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr),
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr), \qquad R_{\mathrm{conv},o}=\frac{1}{h_{2}\,4\pi R_{3}^{2}}.

Passo 4

Substituindo valores ( R_{1}=0,10, R_{2}=0,20, R_{3}=0,25 em metros):
R_{\mathrm{conv},i}=\frac{1}{12\cdot4\pi\,(0,10)^{2}}\approx0{,}6633\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},1}=\frac{1}{4\pi\cdot14}\Bigl(10-5\Bigr)\approx0{,}0284\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{1}{4\pi\cdot0{,}05}\Bigl(5-4\Bigr)\approx1{,}5916\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},o}=\frac{1}{5\cdot4\pi\,(0,25)^{2}}\approx0{,}2547\:\mathrm{K/W}.

Passo 5

A resistência total vale
R_{\mathrm{tot}}=0{,}6633+0{,}0284+1{,}5916+0{,}2547\approx2{,}5379\:\mathrm{K/W}.
Logo o fluxo é
Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{120-25}{2{,}5379}\approx37{,}44\:\mathrm{W}.

Passo 6

A queda de temperatura na convecção externa é
\Delta T_{\mathrm{conv},o}=Q\,R_{\mathrm{conv},o} \approx37{,}44\times0{,}2547\approx9{,}54\:\mathrm{K}.
Assim a temperatura da face externa é
T_{b} =T_{2}+\Delta T_{\mathrm{conv},o} \approx25+9{,}54 \approx34{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

T_{b}\approx34{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}

Exercícios relacionados