Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: O fluxo de calor em a;

Passo 1

O problema trata de transferência de calor em regime permanente através de esferas concêntricas sem geração interna. Temos:
• Convecção interna em r=R_{1} com coeficiente h_{1} e fluido a T_{1}.
• Condução em duas camadas esféricas: de R_{1} a R_{2} com condutividade k_{1}, e de R_{2} a R_{3} com condutividade k.
• Convecção externa em r=R_{3} com coeficiente h_{2} e fluido a T_{2}.
Precisamos calcular o fluxo de calor no ponto a (superfície r=R_{1}), que em regime estacionário é o mesmo fluxo \dot Q que atravessa todas as resistências em série, e depois obter a densidade de fluxo em a, q''_a.

Passo 2

Escrevemos as quatro resistências térmicas em série:
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_{1}\,A_{1}} \quad,\quad R_{\mathrm{cond},1}=\frac{R_{2}-R_{1}}{4\pi\,k_{1}\,R_{1}\,R_{2}}
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{R_{3}-R_{2}}{4\pi\,k\,R_{2}\,R_{3}} \quad,\quad R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_{2}\,A_{3}}
onde
A_{1}=4\pi\,R_{1}^{2} \quad\text{e}\quad A_{3}=4\pi\,R_{3}^{2}\,.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
R_{1}=0{,}10\\ \mathrm{m},\\ R_{2}=0{,}20\\ \mathrm{m},\\ R_{3}=0{,}25\\ \mathrm{m},
h_{1}=12\\ \mathrm{W/m^{2}K},\\ k_{1}=0{,}05\\ \mathrm{W/mK},\\ k=14\\ \mathrm{W/mK},\\ h_{2}=5\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Calculamos cada resistência:
R_{\mathrm{conv},1} =\frac{1}{12\,(4\pi\,(0{,}10)^{2})} \approx0{,}6633\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},1} =\frac{0{,}20-0{,}10}{4\pi\,(0{,}05)\,(0{,}10)\,(0{,}20)} \approx7{,}9577\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},2} =\frac{0{,}25-0{,}20}{4\pi\,(14)\,(0{,}20)\,(0{,}25)} \approx0{,}00568\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},2} =\frac{1}{5\,(4\pi\,(0{,}25)^{2})} \approx0{,}2547\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Somando as resistências para obter a resistência térmica total:
R_{\mathrm{tot}} =R_{\mathrm{conv},1} +R_{\mathrm{cond},1} +R_{\mathrm{cond},2} +R_{\mathrm{conv},2} \approx0{,}6633+7{,}9577+0{,}00568+0{,}2547 =8{,}8814\\ \mathrm{K/W}.
O fluxo de calor total é
\dot Q =\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{120-25}{8{,}8814} \approx10{,}70\\ \mathrm{W}.

Passo 5

A densidade de fluxo na superfície interna ( r=R_{1}, ponto a) é
q''_{a} =\frac{\dot Q}{A_{1}} =\frac{10{,}70}{4\pi\,(0{,}10)^{2}} \approx85{,}1\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

O fluxo de calor em a (densidade de fluxo na superfície r=R_{1}) é
q''_{a}\approx85{,}1\\ \mathrm{W/m^{2}}.

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