Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A temperatura em e;

Passo 1

O problema descreve transferência de calor em regime permanente através de um sistema esférico composto por:
– Um fluido interno à temperatura de bulk T_{1}=120\,^\circ\mathrm{C} e coeficiente convectivo interno h_{1}=12\;\mathrm{W/m^{2}K} atuando na superfície de raio R_{1}=0{,}10\;\mathrm{m}.
– Uma casca esférica interna de condutividade térmica k_{1}=0{,}05\;\mathrm{W/mK} entre r=R_{1} e r=R_{2}=0{,}20\;\mathrm{m}.
– Uma casca esférica externa de condutividade térmica k=14\;\mathrm{W/mK} entre r=R_{2}=0{,}20\;\mathrm{m} e r=R_{3}=0{,}25\;\mathrm{m}.
– Convecção externa com coeficiente h_{2}=5\;\mathrm{W/m^{2}K} em contato com ambiente a T_{2}=25\,^\circ\mathrm{C}.
Queremos encontrar a temperatura na face interna da casca (ponto “a” em r=R_{1}) e na face externa (ponto “b” em r=R_{3}). Para isso, montamos as resistências térmicas em série (convecção interna, condução nas duas camadas esféricas e convecção externa), calculamos o fluxo \dot Q e depois obtemos as quedas de temperatura em cada resistência.

Passo 2

Calcular a resistência convectiva interna em r=R_{1}:
A_{1}=4\pi R_{1}^{2}=4\pi(0{,}10)^{2}=0{,}04\pi\;\mathrm{m^{2}}
R_{\text{conv,1}}=\frac{1}{h_{1}A_{1}} =\frac{1}{12\cdot0{,}04\pi} \approx0{,}6635\;\mathrm{K/W}

Passo 3

Calcular a resistência de condução na casca interna ( k_{1}, entre R_{1} e R_{2}):
R_{\text{cond,1}} =\frac{\ln\!\bigl(R_{2}/R_{1}\bigr)}{4\pi\,k_{1}} =\frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{4\pi\cdot0{,}05} =\frac{\ln2}{0{,}2\pi} \approx1{,}1029\;\mathrm{K/W}

Passo 4

Calcular a resistência de condução na casca externa ( k, entre R_{2} e R_{3}):
R_{\text{cond,2}} =\frac{\ln\!\bigl(R_{3}/R_{2}\bigr)}{4\pi\,k} =\frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{4\pi\cdot14} \approx0{,}001268\;\mathrm{K/W}

Passo 5

Calcular a resistência convectiva externa em r=R_{3}:
A_{3}=4\pi R_{3}^{2}=4\pi(0{,}25)^{2}=0{,}25\pi\;\mathrm{m^{2}}
R_{\text{conv,2}}=\frac{1}{h_{2}A_{3}} =\frac{1}{5\cdot0{,}25\pi} \approx0{,}2547\;\mathrm{K/W}

Passo 6

Somar as resistências e determinar o fluxo térmico:
R_{\text{tot}} =R_{\text{conv,1}}+R_{\text{cond,1}}+R_{\text{cond,2}}+R_{\text{conv,2}} \approx0{,}6635+1{,}1029+0{,}001268+0{,}2547 =2{,}0224\;\mathrm{K/W}
\dot Q =\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\text{tot}}} =\frac{120-25}{2{,}0224} \approx46{,}98\;\mathrm{W}

Passo 7

Encontrar a temperatura na superfície interna da casca (ponto “a”, r=R_{1}):
T_{a} = T_{1} \;-\;\dot Q\,R_{\text{conv,1}} =120 -46{,}98\times0{,}6635 \approx88{,}8\,^\circ\mathrm{C}

Passo 8

Encontrar a temperatura na superfície externa da casca (ponto “b”, r=R_{3}):
pode-se subir em duas etapas, mas direto temos
T_{b} = T_{2} \;+\;\dot Q\,R_{\text{conv,2}} =25 +46{,}98\times0{,}2547 \approx36{,}97\,^\circ\mathrm{C}

Resposta

Temperatura na face interna da casca (ponto a): T_{a}\approx88{,}8\,^\circ\mathrm{C}
Temperatura na face externa da casca (ponto b): T_{b}\approx37{,}0\,^\circ\mathrm{C}

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