Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: O fluxo de calor em b;

Passo 1

O enunciado trata de uma transferência de calor em regime estacionário entre duas calotas esféricas, sem geração interna, envolvendo:
  • Convecção interna da fluidos a \mathrm{T}_{1}=120^\circ\mathrm{C} para a superfície esférica de raio R_{1}=0{,}10\mathrm{\,m} com coeficiente h_{1}=12\mathrm{\,W/m^2K}.
  • Condução através de duas camadas concêntricas: uma camada metálica de condutividade k=14\mathrm{\,W/mK} entre r=R_{1} e r=R_{2}=0{,}20\mathrm{\,m}, e uma camada isolante de condutividade k_{1}=0{,}05\mathrm{\,W/mK} entre r=R_{2} e r=R_{3}=0{,}25\mathrm{\,m}.
  • Convecção externa da superfície esférica de raio R_{3} para o fluido ambiente a \mathrm{T}_{2}=25^\circ\mathrm{C} com coeficiente h_{2}=5\mathrm{\,W/m^2K}.
    Queremos o fluxo de calor estacionário \dot Q que atravessa toda esta série de resistências térmicas.

Passo 2

Em regime estacionário e em série, as resistências térmicas somam-se de forma análoga a resistências elétricas. São elas:
  1. Convecção interna em r=R_{1}:
R_{\mathrm{conv,1}} = \frac{1}{h_{1}\,A_{1}} \quad\text{com}\quad A_{1}=4\pi R_{1}^{2}.
  1. Condução esférica na camada metálica ( R_{1}\to R_{2}):
R_{\mathrm{cond,\,met}} = \frac{1}{4\pi k}\,\Bigl(\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}\Bigr).
  1. Condução esférica na camada isolante ( R_{2}\to R_{3}):
R_{\mathrm{cond,\,isl}} = \frac{1}{4\pi k_{1}}\,\Bigl(\frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{3}}\Bigr).
  1. Convecção externa em r=R_{3}:
R_{\mathrm{conv,2}} = \frac{1}{h_{2}\,A_{3}} \quad\text{com}\quad A_{3}=4\pi R_{3}^{2}.
O fluxo é então
\dot Q = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{tot}}} \quad\text{onde}\quad \Delta T = T_{1}-T_{2} \quad\text{e}\quad R_{\mathrm{tot}} = R_{\mathrm{conv,1}} + R_{\mathrm{cond,\,met}} + R_{\mathrm{cond,\,isl}} + R_{\mathrm{conv,2}}.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos (usando metros e watts):
  1. R_{\mathrm{conv,1}} = \dfrac{1}{12\cdot4\pi(0{,}10)^{2}} = \dfrac{1}{4\pi\cdot0{,}12} \approx 0{,}663\\ \mathrm{K/W}.
  2. R_{\mathrm{cond,\,met}} = \dfrac{1}{4\pi\,(14)}\Bigl(\tfrac{1}{0{,}10}-\tfrac{1}{0{,}20}\Bigr) = \dfrac{1}{56\pi}\,(10-5) = \dfrac{5}{56\pi} \approx 0{,}0284\\ \mathrm{K/W}.
  3. R_{\mathrm{cond,\,isl}} = \dfrac{1}{4\pi\,(0{,}05)}\Bigl(\tfrac{1}{0{,}20}-\tfrac{1}{0{,}25}\Bigr) = \dfrac{1}{0{,}2\pi}\,(5-4) = \dfrac{1}{0{,}2\pi} \approx 1{,}5915\\ \mathrm{K/W}.
  4. R_{\mathrm{conv,2}} = \dfrac{1}{5\cdot4\pi(0{,}25)^{2}} = \dfrac{1}{4\pi\cdot0{,}3125} \approx 0{,}2546\\ \mathrm{K/W}.
Somando,
R_{\mathrm{tot}} = 0{,}663 + 0{,}0284 + 1{,}5915 + 0{,}2546 \approx 2{,}5375\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{1}-T_{2} = 120 - 25 = 95\\ \mathrm{K}.
Logo o fluxo de calor fica
\dot Q = \frac{95}{2{,}5375} \approx 37{,}45\\ \mathrm{W}.

Resposta

O fluxo de calor em b é aproximadamente
\dot Q \approx 37{,}5\\ \mathrm{W}.

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