Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: O fluxo de calor em d;

Passo 1

O enunciado descreve um problema de regime permanente em esferas concêntricas, sem geração interna de calor. Temos:
– Convecção no interior em r=R_{1} com \displaystyle T_{1}=120\,^{\circ}\mathrm{C} e h_{1}=12\;\mathrm{W/m^{2}K}.
– Convecção no exterior em r=R_{3} com \displaystyle T_{2}=25\,^{\circ}\mathrm{C} e h_{2}=5\;\mathrm{W/m^{2}K}.
– Condução na camada interna R_{1}\le r\le R_{2} com k=14\;\mathrm{W/mK}, e na camada externa R_{2}\le r\le R_{3} com k_{1}=0{,}05\;\mathrm{W/mK}.
– Raios: R_{1}=0{,}10\;\mathrm{m},\;R_{2}=0{,}20\;\mathrm{m},\;R_{3}=0{,}25\;\mathrm{m}.
Queremos calcular o fluxo de calor específico (densidade de fluxo) nos pontos
a) na superfície interna r=R_{1}, e
b) na superfície externa r=R_{3}.
Para isso vamos usar o método de resistências térmicas em série:
– Resistência convectiva em R_{1}:
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_{1}\,A_{1}} \quad\text{com}\quad A_{1}=4\pi R_{1}^{2}.
– Resistência de condução esférica entre R_{1} e R_{2}:
R_{\mathrm{cond},1}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr).
– Resistência de condução esférica entre R_{2} e R_{3}:
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr).
– Resistência convectiva em R_{3}:
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_{2}\,A_{3}} \quad\text{com}\quad A_{3}=4\pi R_{3}^{2}.
Em seguida calculamos a resistência total, a taxa de calor Q e por fim as densidades de fluxo q_{a}=Q/A_{1} e q_{b}=Q/A_{3}.

Passo 2

Cálculo das resistências:
  1. Área interna
A_{1}=4\pi R_{1}^{2} =4\pi(0{,}10)^{2} =4\pi\cdot0{,}01 =0{,}04\pi\;\mathrm{m^{2}}.
  1. Resistência convectiva interna
R_{\mathrm{conv},1} =\frac{1}{h_{1}A_{1}} =\frac{1}{12\cdot0{,}04\pi} =\frac{1}{0{,}48\pi} \approx0{,}664\;\mathrm{K/W}.
  1. Resistência de condução na primeira camada
R_{\mathrm{cond},1} =\frac{1}{4\pi\,k}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot14}\bigl(10 - 5\bigr) =\frac{5}{56\pi} \approx0{,}0284\;\mathrm{K/W}.
  1. Resistência de condução na segunda camada
R_{\mathrm{cond},2} =\frac{1}{4\pi\,k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}05}\bigl(5 - 4\bigr) =\frac{1}{0{,}2\pi} \approx1{,}5915\;\mathrm{K/W}.
  1. Área externa
A_{3}=4\pi R_{3}^{2} =4\pi(0{,}25)^{2} =4\pi\cdot0{,}0625 =0{,}25\pi\;\mathrm{m^{2}}.
  1. Resistência convectiva externa
R_{\mathrm{conv},2} =\frac{1}{h_{2}A_{3}} =\frac{1}{5\cdot0{,}25\pi} =\frac{1}{1{,}25\pi} \approx0{,}255\;\mathrm{K/W}.

Passo 3

Resistência térmica total em série:
R_{\mathrm{tot}} =R_{\mathrm{conv},1} +R_{\mathrm{cond},1} +R_{\mathrm{cond},2} +R_{\mathrm{conv},2} \approx0{,}664+0{,}0284+1{,}5915+0{,}255 =2{,}538\;\mathrm{K/W}.
Taxa de calor Q:
Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{120-25}{2{,}538} \approx\frac{95}{2{,}538} \approx37{,}45\;\mathrm{W}.

Passo 4

Densidade de fluxo nas superfícies:
a) No ponto r=R_{1}:
q_{a} =\frac{Q}{A_{1}} =\frac{37{,}45}{0{,}04\pi} \approx\frac{37{,}45}{0{,}1257} \approx298{,}1\;\mathrm{W/m^{2}}.
b) No ponto r=R_{3}:
q_{b} =\frac{Q}{A_{3}} =\frac{37{,}45}{0{,}25\pi} \approx\frac{37{,}45}{0{,}7854} \approx47{,}7\;\mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

qₐ ≃ 298 W/m²
qᵦ ≃ 47,7 W/m²

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