Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: O fluxo de calor em c;

Passo 1

O enunciado descreve transferência de calor em regime permanente através de duas camadas esféricas sem geração interna, com convecção no interior (raio R_{1}) e no exterior (raio R_{3}). A fluido interno está a T_{1}=120^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h_{1}=12,W/m²K; a fluido externo está a T_{2}=25^\circ\mathrm{C} com h_{2}=5,W/m²K. A primeira camada (entre R_{1}=0{,}10 m e R_{2}=0{,}20 m) tem condutividade k_{1}=0{,}05,W/mK e a segunda (entre R_{2} e R_{3}=0{,}25 m) tem k=14,W/mK. Queremos calcular a vazão de calor q.

Passo 2

Modelamos como resistências térmicas em série: convecção interna, condução na camada 1, condução na camada 2 e convecção externa.
A resistência convectiva interna é
R_{\mathrm{conv,i}}=\frac{1}{h_{1}\,4\pi R_{1}^{2}}\,,
a condução na camada 1 (esférica) é
R_{\mathrm{cond,1}}=\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr)\,,
a condução na camada 2 é
R_{\mathrm{cond,2}}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr)\,,
e a convecção externa é
R_{\mathrm{conv,o}}=\frac{1}{h_{2}\,4\pi R_{3}^{2}}\,.
A vazão de calor é dada por
q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{conv,i}}+R_{\mathrm{cond,1}}+R_{\mathrm{cond,2}}+R_{\mathrm{conv,o}}}\,.

Passo 3

Calculando cada resistência (em K/W):
R_{\mathrm{conv,i}} =\frac{1}{12\cdot4\pi\,(0,10)^{2}} \approx0{,}6635,
R_{\mathrm{cond,1}} =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}05}\Bigl(\frac{1}{0,10}-\frac{1}{0,20}\Bigr) \approx7{,}9577,
R_{\mathrm{cond,2}} =\frac{1}{4\pi\cdot14}\Bigl(\frac{1}{0,20}-\frac{1}{0,25}\Bigr) \approx0{,}00568,
R_{\mathrm{conv,o}} =\frac{1}{5\cdot4\pi\,(0,25)^{2}} \approx0{,}2546.

Passo 4

Somando as resistências:
R_{\mathrm{tot}} =0{,}6635+7{,}9577+0{,}00568+0{,}2546 \approx8{,}8815\;\mathrm{K/W}.
Como \Delta T=T_{1}-T_{2}=120-25=95,K, temos
q=\frac{95}{8{,}8815}\approx10{,}7\;\mathrm{W}.

Resposta

A vazão de calor é aproximadamente 10{,}7 W.

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