Quais das transformações abaixo são lineares?
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a transformação
definida por
é linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente tratando de transformações lineares. Para resolver, precisamos verificar duas propriedades básicas das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer matrizes
e
em
e qualquer escalar
, as duas seguintes condições forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Tomemos duas matrizes
e
. Então:
Por outro lado:
Vemos que
, então a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Tome um escalar
e uma matriz
. Então:
Assim,
, confirmando a homogeneidade.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.