Quais das transformações abaixo são lineares?
(d) T: Mn times n(R) longrightarrow R^n, T(A)=(A11, A22, ldots, An n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a transformação T: Mn times n(R) longrightarrow R^n, T(A) = (A11, A22, ldots, Ann) definida por
é linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente tratando de transformações lineares. Para resolver, precisamos verificar duas propriedades básicas das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer matrizes e em e qualquer escalar , as duas seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Tomemos duas matrizes T(A + B) = ( (A+B)11, (A+B)22, ldots, (A+B)nn ) = ( A11 + B11, A22 + B22, ldots, Ann + Bnn ) e T(A) + T(B) = ( A11, A22, ldots, Ann ) + ( B11, B22, ldots, Bnn ) = ( A11 + B11, A22 + B22, ldots, Ann + Bnn ) . Então:
Por outro lado:
Vemos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Tome um escalar T(cA) = ( (cA)11, (cA)22, ldots, (cA)nn ) = ( cA11, cA22, ldots, cAnn ) = c ( A11, A22, ldots, Ann ) = cT(A) e uma matriz . Então:
Assim, , confirmando a homogeneidade.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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