Quais das transformações abaixo são lineares?
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação
é linear. Estamos lidando com transformações entre espaços de funções, especificamente de funções duas vezes diferenciáveis
para funções contínuas
. Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar o que é uma transformação linear e como verificar essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer funções
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Então, para verificar se
é linear, a gente precisa testar essas duas condições.
Passo 3
Vamos começar com a aditividade. Suponha que temos duas funções
e
em
. Aplicando
à soma delas:
Calculando as derivadas:
Agora, vamos calcular
:
Comparando os dois resultados:
Vemos que
porque
.
Passo 4
Já que a aditividade não foi satisfeita, não precisamos nem verificar a homogeneidade. Para uma transformação ser linear, as duas condições precisam ser verdadeiras. Como uma delas falhou, podemos concluir que
não é uma transformação linear.
Resposta
Não, a transformação
não é linear porque ela não satisfaz a propriedade de aditividade devido ao termo constante
.