Quais das transformações abaixo são lineares?
(e) T: C^2(R) longrightarrow C(R), T(f)=3 f^prime prime-2 f^prime+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação é linear. Estamos lidando com transformações entre espaços de funções, especificamente de funções duas vezes diferenciáveis para funções contínuas . Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar o que é uma transformação linear e como verificar essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer funções e e qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Então, para verificar se é linear, a gente precisa testar essas duas condições.

Passo 3

Vamos começar com a aditividade. Suponha que temos duas funções T(f + g) = 3(f + g)'' - 2(f + g)' + 1 e = 3(f'' + g'') - 2(f' + g') + 1 em = 3f'' + 3g'' - 2f' - 2g' + 1 . Aplicando T(f) + T(g) = [3f'' - 2f' + 1] + [3g'' - 2g' + 1] à soma delas:
= 3f'' + 3g'' - 2f' - 2g' + 2
Calculando as derivadas:
T(f + g) = 3f'' + 3g'' - 2f' - 2g' + 1
T(f) + T(g) = 3f'' + 3g'' - 2f' - 2g' + 2
Agora, vamos calcular :
Comparando os dois resultados:
Vemos que porque .

Passo 4

Já que a aditividade não foi satisfeita, não precisamos nem verificar a homogeneidade. Para uma transformação ser linear, as duas condições precisam ser verdadeiras. Como uma delas falhou, podemos concluir que não é uma transformação linear.

Resposta

Não, a transformação não é linear porque ela não satisfaz a propriedade de aditividade devido ao termo constante .

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