Se a transformada de Fourier de
for
, qual será a transformada de Fourier de
, sendo a uma constante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- É dada uma função
cuja transformada de Fourier é . - Define-se
, onde é uma constante (portanto é a conjugada complexa de ). - A pergunta: qual é a transformada de Fourier de
?
Passo 2
Lembrete da definição e do que cada símbolo significa (isso é importante para não se perder na prova):
- A transformada de Fourier de uma função
é, pela convenção usual,
- Aqui
é a frequência angular, é a unidade imaginária ( ), e é a variável do tempo. Essa fórmula é a base para manipular propriedades como linearidade e reversão no tempo.
Passo 3
Calcular a transformada de Fourier de
(parte essencial):
- Começamos pela integral
- Faço a substituição de variável
. Então e . Quando percorre , percorre ; trocando os limites de integração (o que anula o sinal menos) obtemos
- Observe que, pela definição,
. Comparando, vemos que
- Conclusão intermediária:
(Em palavras: a reversão no tempo troca o sinal da frequência.)
Passo 4
Incluir a multiplicação pela constante
usando linearidade:
- A transformada de Fourier é linear, isto é, para qualquer constante
e função ,
- Aplicando com
e , e usando o resultado do passo anterior,
Passo 5
Interpretação rápida e exemplo de intuição (opcional para fixar):
- Se
for real, e o fator sai simplesmente como . - A operação
inverte o espectro trocando por ; o fator constante só escala o espectro pela mesma constante (a conjugada aparece porque você multiplicou por no tempo). - Exemplo numérico simples: se
e , então a transformada de é .