Se a transformada de Fourier de f_{1}(t) for F_{1}(w), qual será a transformada de Fourier de \mathrm{f}_{3}(\mathrm{t})=\mathrm{a}^{*} \mathrm{f}_{1}(-\mathrm{t}), sendo a uma constante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • É dada uma função \mathrm{f}_{1}(t) cuja transformada de Fourier é \mathrm{F}_{1}(\omega).
  • Define-se \mathrm{f}_{3}(t)=a^{*}\,\mathrm{f}_{1}(-t), onde a é uma constante (portanto a^{*} é a conjugada complexa de a).
  • A pergunta: qual é a transformada de Fourier de \mathrm{f}_{3}(t)?

Passo 2

Lembrete da definição e do que cada símbolo significa (isso é importante para não se perder na prova):
  • A transformada de Fourier de uma função \mathrm{f}(t) é, pela convenção usual,
\mathrm{F}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
  • Aqui \omega é a frequência angular, j é a unidade imaginária ( j^2=-1), e t é a variável do tempo. Essa fórmula é a base para manipular propriedades como linearidade e reversão no tempo.

Passo 3

Calcular a transformada de Fourier de \mathrm{f}_{1}(-t) (parte essencial):
  • Começamos pela integral
\mathcal{F}\{\mathrm{f}_{1}(-t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}_{1}(-t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
  • Faço a substituição de variável u=-t. Então t=-u e dt=-du. Quando t percorre (-\infty,\infty), u percorre (\infty,-\infty); trocando os limites de integração (o que anula o sinal menos) obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}_{1}(-t)\,e^{-j\omega t}\,dt = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}_{1}(u)\,e^{j\omega u}\,du.
  • Observe que, pela definição, \mathrm{F}_{1}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}_{1}(t)\,e^{-j\omega t}\,dt. Comparando, vemos que
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}_{1}(u)\,e^{j\omega u}\,du = \mathrm{F}_{1}(-\omega).
  • Conclusão intermediária:
\mathcal{F}\{\mathrm{f}_{1}(-t)\}(\omega)=\mathrm{F}_{1}(-\omega).
(Em palavras: a reversão no tempo troca o sinal da frequência.)

Passo 4

Incluir a multiplicação pela constante a^{*} usando linearidade:
  • A transformada de Fourier é linear, isto é, para qualquer constante c e função \mathrm{g}(t),
\mathcal{F}\{c\,\mathrm{g}(t)\}(\omega)=c\;\mathcal{F}\{\mathrm{g}(t)\}(\omega).
  • Aplicando com c=a^{*} e \mathrm{g}(t)=\mathrm{f}_{1}(-t), e usando o resultado do passo anterior,
\mathcal{F}\{a^{*}\,\mathrm{f}_{1}(-t)\}(\omega)=a^{*}\,\mathcal{F}\{\mathrm{f}_{1}(-t)\}(\omega) = a^{*}\,\mathrm{F}_{1}(-\omega).

Passo 5

Interpretação rápida e exemplo de intuição (opcional para fixar):
  • Se a for real, a^{*}=a e o fator sai simplesmente como a.
  • A operação -t inverte o espectro trocando \omega por -\omega; o fator constante só escala o espectro pela mesma constante (a conjugada aparece porque você multiplicou por a^{*} no tempo).
  • Exemplo numérico simples: se \mathrm{F}_{1}(\omega)=e^{-\omega^{2}} e a^{*}=2, então a transformada de \mathrm{f}_{3}(t) é 2\,e^{-(-\omega)^{2}}=2\,e^{-\omega^{2}}.

Resposta

\mathrm{F}_{3}(\omega)=a^{*}\,\mathrm{F}_{1}(-\omega)

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