Na transformada de Fourier como são calculados os espectros de amplitude e fase?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar como, a partir da transformada de Fourier de um sinal, se obtêm os espectros de amplitude e de fase.
Informações relevantes que temos (implícitas no pedido): o sinal pode ser contínuo no tempo (usamos a Transformada de Fourier contínua) ou discreto/amostrado (usamos a DFT/FFT). O resultado da transformada é em geral um número complexo para cada frequência, e a partir desse número complexo extraímos amplitude e fase.

Passo 2

Definição básica — transformada e resultado complexo.
A Transformada de Fourier contínua de um sinal x(t) é
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde j é a unidade imaginária e \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f).
O resultado X(\omega) é em geral um número complexo que podemos escrever como
X(\omega)=\Re\{X(\omega)\}+j\,\Im\{X(\omega)\},
ou em forma polar
X(\omega)=|X(\omega)|\,e^{j\varphi(\omega)}.
Aqui \Re\{X(\omega)\} é a parte real e \Im\{X(\omega)\} é a parte imaginária.

Passo 3

Como se obtém o espectro de amplitude (conceito).
O espectro de amplitude é o módulo (magnitude) do número complexo X(\omega). Ele mede “quanto” há naquela frequência. A fórmula é
A(\omega)=|X(\omega)|=\sqrt{\big(\Re\{X(\omega)\}\big)^2+\big(\Im\{X(\omega)\}\big)^2}.
Explicando passo a passo: calcule a parte real e a parte imaginária de X(\omega), eleve cada uma ao quadrado, some, e tire a raiz quadrada. Isso dá um número não-negativo que é a amplitude em cada \omega.

Passo 4

Como se obtém o espectro de fase (conceito).
O espectro de fase é o argumento (ângulo) do número complexo X(\omega). Ele indica o deslocamento de fase do componente naquela frequência. A forma prática de calcular é usar a função arctangente de duas variáveis para pegar o ângulo correto em todos os quadrantes:
\varphi(\omega)=\arg X(\omega)=\operatorname{atan2}\big(\Im\{X(\omega)\},\,\Re\{X(\omega)\}\big).
Explicando: calcule \Im\{X(\omega)\} e \Re\{X(\omega)\} e use \operatorname{atan2} para obter o ângulo entre -\pi e \pi. Isso evita ambiguidades de sinal que a \arctan\big(\Im/\Re\big) simples causa.

Passo 5

Versão discreta (DFT/FFT) — definição e mapeamento de índices para frequência.
Para um sinal amostrado x[n] de comprimento N a DFT é
X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j 2\pi \frac{k n}{N}},\qquad k=0,1,\dots,N-1.
O índice k corresponde à frequência f_k (em Hz) dada por
f_k = k\cdot\frac{F_s}{N},
onde F_s é a taxa de amostragem. Em termos de frequência angular \omega_k = 2\pi k/N.

Passo 6

Como extrair amplitude e fase da DFT/FFT na prática.
Após calcular X[k] (por exemplo com uma FFT), para cada bin k fazemos:
A[k]=|X[k]|=\sqrt{\big(\Re\{X[k]\}\big)^2+\big(\Im\{X[k]\}\big)^2},
\varphi[k]=\operatorname{atan2}\big(\Im\{X[k]\},\,\Re\{X[k]\}\big).
Dicas práticas:
  • Para sinais reais é comum plotar apenas metade do espectro (frequências positivas) porque X[k] é conjugado-simétrico: X[N-k]=X[k]^*.
  • Se quiser o espectro de amplitude em unidades do sinal original (por ex. volt rms/amplitude), normalize: muitas implementações retornam X[k] sem divisão por N. Uma forma comum de normalizar para um espectro de amplitude de um sinal real é usar a versão “single-sided”
A_{\text{1s}}[k]=\frac{2}{N}\,|X[k]|,\qquad k=1,\dots,\frac{N}{2}-1,
com A_{\text{1s}}[0]=\frac{1}{N}|X[0]| e, se N par, A_{\text{1s}}[N/2]=\frac{1}{N}|X[N/2]|. Isso preserva a energia quando se ignora a metade negativa do espectro.

Passo 7

Cuidado com fase: descontinuidade e “unwrapping”.
A função \operatorname{atan2} dá a fase principal em (-\pi,\pi]. Em sinais reais, a fase frequentemente salta entre \pi e -\pi; para interpretação contínua no eixo das frequências aplicamos o “unwrap” que soma/subtrai 2\pi onde necessário para remover saltos artificiais. Ferramentas como MATLAB/Python têm funções unwrap prontas.

Passo 8

Exemplo simples (intuitivo) — cosseno contínuo.
Considere x(t)=\cos(2\pi f_0 t). Sua transformada é (resultado padrão)
X(f)=\tfrac{1}{2}\,\delta(f-f_0)+\tfrac{1}{2}\,\delta(f+f_0).
Aqui o espectro de amplitude tem dois picos (impulsos) de amplitude \tfrac{1}{2} em f=\pm f_0. As fases associadas a esses picos são 0 (porque os coeficientes \tfrac{1}{2} são reais e positivos). Se tivesse um deslocamento \cos(2\pi f_0 t+\theta), os coeficientes seriam \tfrac{1}{2}e^{j\theta} e \tfrac{1}{2}e^{-j\theta}, dando fases \theta e -\theta.

Passo 9

Exemplo discreto (DFT) — cosseno amostrado com período inteiro.
Se x[n]=\cos(2\pi \frac{k_0}{N} n) para n=0,\dots,N-1, a DFT tem energias concentradas nos bins k_0 e N-k_0. Tipicamente a FFT devolverá valores complexos não-nulos nesses dois bins; aplicando as fórmulas de magnitude e fase acima obtemos os picos de amplitude e as fases correspondentes (0 para cosseno sem deslocamento).

Passo 10

Boas práticas e dicas para prova (resumo “passo a passo” para aplicar na hora):
  1. Determine se usará FT analítica (sinais simples) ou DFT/FFT (dados amostrados).
  2. Calcule X(\omega) ou X[k] (analiticamente ou numericamente).
  3. Separe \Re e \Im.
  4. Calcule amplitude com A=\sqrt{\Re^2+\Im^2}.
  5. Calcule fase com \varphi=\operatorname{atan2}(\Im,\Re).
  6. Se for plotar, decida normalização (por N e fator 2 para single-sided).
  7. Unwrap a fase se quiser interpretação contínua.
  8. Verifique simetrias (sinais reais) para simplificar.

Resposta

A(\omega)=|X(\omega)|=\sqrt{\big(\Re\{X(\omega)\}\big)^2+\big(\Im\{X(\omega)\}\big)^2}
\varphi(\omega)=\arg X(\omega)=\operatorname{atan2}\big(\Im\{X(\omega)\},\,\Re\{X(\omega)\}\big)
Para DFT/FFT: X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j2\pi kn/N}, A[k]=|X[k]| (single-sided normalmente A_{\text{1s}}[k]=\tfrac{2}{N}|X[k]| para k=1,\dots,N/2-1), \varphi[k]=\operatorname{atan2}(\Im\{X[k]\},\Re\{X[k]\}).

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