Na transformada de Fourier como são calculados os espectros de amplitude e fase?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como, a partir da transformada de Fourier de um sinal, se obtêm os espectros de amplitude e de fase.
Informações relevantes que temos (implícitas no pedido): o sinal pode ser contínuo no tempo (usamos a Transformada de Fourier contínua) ou discreto/amostrado (usamos a DFT/FFT). O resultado da transformada é em geral um número complexo para cada frequência, e a partir desse número complexo extraímos amplitude e fase.
Informações relevantes que temos (implícitas no pedido): o sinal pode ser contínuo no tempo (usamos a Transformada de Fourier contínua) ou discreto/amostrado (usamos a DFT/FFT). O resultado da transformada é em geral um número complexo para cada frequência, e a partir desse número complexo extraímos amplitude e fase.
Passo 2
Definição básica — transformada e resultado complexo.
A Transformada de Fourier contínua de um sinal é
A Transformada de Fourier contínua de um sinal
onde
é a unidade imaginária e
é a frequência angular (
).
O resultado é em geral um número complexo que podemos escrever como
O resultado
ou em forma polar
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária.
Passo 3
Como se obtém o espectro de amplitude (conceito).
O espectro de amplitude é o módulo (magnitude) do número complexo . Ele mede “quanto” há naquela frequência. A fórmula é
O espectro de amplitude é o módulo (magnitude) do número complexo
Explicando passo a passo: calcule a parte real e a parte imaginária de
, eleve cada uma ao quadrado, some, e tire a raiz quadrada. Isso dá um número não-negativo que é a amplitude em cada
.
Passo 4
Como se obtém o espectro de fase (conceito).
O espectro de fase é o argumento (ângulo) do número complexo . Ele indica o deslocamento de fase do componente naquela frequência. A forma prática de calcular é usar a função arctangente de duas variáveis para pegar o ângulo correto em todos os quadrantes:
O espectro de fase é o argumento (ângulo) do número complexo
Explicando: calcule
e
e use
para obter o ângulo entre
e
. Isso evita ambiguidades de sinal que a
simples causa.
Passo 5
Versão discreta (DFT/FFT) — definição e mapeamento de índices para frequência.
Para um sinal amostrado de comprimento
a DFT é
Para um sinal amostrado
O índice
corresponde à frequência
(em Hz) dada por
onde
é a taxa de amostragem. Em termos de frequência angular
.
Passo 6
Como extrair amplitude e fase da DFT/FFT na prática.
Após calcular (por exemplo com uma FFT), para cada bin
fazemos:
Após calcular
Dicas práticas:
- Para sinais reais é comum plotar apenas metade do espectro (frequências positivas) porque
é conjugado-simétrico: . - Se quiser o espectro de amplitude em unidades do sinal original (por ex. volt rms/amplitude), normalize: muitas implementações retornam
sem divisão por . Uma forma comum de normalizar para um espectro de amplitude de um sinal real é usar a versão “single-sided”
com
e, se
par,
. Isso preserva a energia quando se ignora a metade negativa do espectro.
Passo 7
Cuidado com fase: descontinuidade e “unwrapping”.
A função dá a fase principal em
. Em sinais reais, a fase frequentemente salta entre
e
; para interpretação contínua no eixo das frequências aplicamos o “unwrap” que soma/subtrai
onde necessário para remover saltos artificiais. Ferramentas como MATLAB/Python têm funções unwrap prontas.
A função
Passo 8
Exemplo simples (intuitivo) — cosseno contínuo.
Considere . Sua transformada é (resultado padrão)
Considere
Aqui o espectro de amplitude tem dois picos (impulsos) de amplitude
em
. As fases associadas a esses picos são
(porque os coeficientes
são reais e positivos). Se tivesse um deslocamento
, os coeficientes seriam
e
, dando fases
e
.
Passo 9
Exemplo discreto (DFT) — cosseno amostrado com período inteiro.
Se para
, a DFT tem energias concentradas nos bins
e
. Tipicamente a FFT devolverá valores complexos não-nulos nesses dois bins; aplicando as fórmulas de magnitude e fase acima obtemos os picos de amplitude e as fases correspondentes (0 para cosseno sem deslocamento).
Se
Passo 10
Boas práticas e dicas para prova (resumo “passo a passo” para aplicar na hora):
- Determine se usará FT analítica (sinais simples) ou DFT/FFT (dados amostrados).
- Calcule
ou (analiticamente ou numericamente). - Separe
e . - Calcule amplitude com
. - Calcule fase com
. - Se for plotar, decida normalização (por
e fator 2 para single-sided). - Unwrap a fase se quiser interpretação contínua.
- Verifique simetrias (sinais reais) para simplificar.
Resposta
Para DFT/FFT: