Qual a definição da Transformada de Fourier? E Qual a definição da Transformada Inversa de Fourier?
Passo 1
O que o problema pede: definir a Transformada de Fourier e a Transformada Inversa de Fourier.
Informações dadas: nenhuma função específica — você quer as definições gerais e usuais.
Observação importante: vou apresentar a convenção mais comum nas áreas de matemática/engenharia (frequência angular ); também mostrarei variações e explicarei o que cada símbolo significa.
Informações dadas: nenhuma função específica — você quer as definições gerais e usuais.
Observação importante: vou apresentar a convenção mais comum nas áreas de matemática/engenharia (frequência angular
Passo 2
Definição padrão (convenção com frequência angular). Seja
uma função “bem comportada” (mais abaixo explico as condições). A Transformada de Fourier de
é a função
definida por
Aqui:
é a frequência angular (em radianos por segundo se
for tempo),
é a variável no domínio original (tempo ou espaço), e
é a unidade imaginária (
). O símbolo
representa o valor da transformada no ponto
.
Passo 3
Definição da Transformada Inversa (mesma convenção). Se
for a transformada de
, então
pode ser recuperada por
O fator
aparece porque escolhemos a exponencial com
na definição direta; é uma escolha de convenção que garante que a operação direta seguida da inversa devolve
.
Passo 4
Explicando por que essas fórmulas “fazem sentido” (intuição):
- A Transformada de Fourier decomõe
em contribuições de senos e cossenos (ou complexas ) de diferentes frequências . - A integral calcula quanto de cada frequência está presente na função.
- A inversa monta de volta
usando todas as frequências com os pesos .
Passo 5
Outras convenções usadas (úteis em provas):
- Convenção com frequência em hertz
(usa no expoente):
- Convenção simétrica (normalização
):
Importante: antes de resolver um exercício, verifique qual convenção o seu professor usa — senão os fatores
vão te confundir.
Passo 6
Condições de existência e resultados úteis (o que você pode afirmar em provas):
- Se
(ou seja, ), então existe para todo e é contínua; além disso o lema de Riemann–Lebesgue diz que quando . - Se
(energia finita), a transformada é definida em sentido de e a identidade de Plancherel diz que a transformação é isométrica até fatores de . Em poucas palavras: energia no tempo = energia no espectro. - Para funções generalizadas (distribuições temperadas) existe extensão da transformada de Fourier (útil para deltas, sinais não integráveis, etc.).
Passo 7
Algumas propriedades básicas com fórmulas (que caem direto na prova):
- Linearidade:
- Deslocamento no tempo (time shift):
- Modulação (deslocamento em frequência):
- Convolução no tempo ↔ multiplicação no espectro:
onde
.
- Teorema de Parseval/Plancherel (convenção angular):
Passo 8
Exemplos rápidos (úteis para memorização):
- Delta de Dirac:
. Isso vem de . - Exponencial causal: para
e (onde é o degrau de Heaviside),
- Gaussiana: para
,
na convenção com
(isso mostra que a gaussiana é estável pela transformada).
Passo 9
Dica prática para provas (motivação e ânimo): antes de aplicar fórmulas, identifique a convenção pedida; anote-a no canto da sua folha; use propriedades (time shift, modulação, escala, convolução) para evitar integrais longas; e se travar, tente lembrar um exemplo (delta, exponencial, gaussiana) para checar constantes. Você consegue — respira, um passo de cada vez.