Qual a definição da Transformada de Fourier? E Qual a definição da Transformada Inversa de Fourier?

Passo 1

O que o problema pede: definir a Transformada de Fourier e a Transformada Inversa de Fourier.
Informações dadas: nenhuma função específica — você quer as definições gerais e usuais.
Observação importante: vou apresentar a convenção mais comum nas áreas de matemática/engenharia (frequência angular \omega); também mostrarei variações e explicarei o que cada símbolo significa.

Passo 2

Definição padrão (convenção com frequência angular). Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} uma função “bem comportada” (mais abaixo explico as condições). A Transformada de Fourier de f é a função \hat f definida por
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Aqui: \omega é a frequência angular (em radianos por segundo se t for tempo), t é a variável no domínio original (tempo ou espaço), e i é a unidade imaginária ( i^2=-1). O símbolo \hat f(\omega) representa o valor da transformada no ponto \omega.

Passo 3

Definição da Transformada Inversa (mesma convenção). Se \hat f for a transformada de f, então f pode ser recuperada por
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
O fator 1/(2\pi) aparece porque escolhemos a exponencial com e^{-i\omega t} na definição direta; é uma escolha de convenção que garante que a operação direta seguida da inversa devolve f.

Passo 4

Explicando por que essas fórmulas “fazem sentido” (intuição):
  • A Transformada de Fourier decomõe f(t) em contribuições de senos e cossenos (ou complexas e^{i\omega t}) de diferentes frequências \omega.
  • A integral calcula quanto de cada frequência está presente na função.
  • A inversa monta de volta f(t) usando todas as frequências com os pesos \hat f(\omega).

Passo 5

Outras convenções usadas (úteis em provas):
  • Convenção com frequência em hertz \nu (usa 2\pi no expoente):
\mathcal F\{f\}(\nu)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-2\pi i \nu t}\,dt,
f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal F\{f\}(\nu)\,e^{2\pi i \nu t}\,d\nu.
  • Convenção simétrica (normalização 1/\sqrt{2\pi}):
\tilde f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
Importante: antes de resolver um exercício, verifique qual convenção o seu professor usa — senão os fatores 2\pi vão te confundir.

Passo 6

Condições de existência e resultados úteis (o que você pode afirmar em provas):
  • Se f\in L^1(\mathbb{R}) (ou seja, \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\,dt<\infty), então \hat f(\omega) existe para todo \omega e é contínua; além disso o lema de Riemann–Lebesgue diz que \hat f(\omega)\to0 quando |\omega|\to\infty.
  • Se f\in L^2(\mathbb{R}) (energia finita), a transformada é definida em sentido de L^2 e a identidade de Plancherel diz que a transformação é isométrica até fatores de 2\pi. Em poucas palavras: energia no tempo = energia no espectro.
  • Para funções generalizadas (distribuições temperadas) existe extensão da transformada de Fourier (útil para deltas, sinais não integráveis, etc.).

Passo 7

Algumas propriedades básicas com fórmulas (que caem direto na prova):
  • Linearidade:
\mathcal F\{a f + b g\}(\omega)=a\mathcal F\{f\}(\omega)+b\mathcal F\{g\}(\omega).
  • Deslocamento no tempo (time shift):
\mathcal F\{f(t-t_0)\}(\omega)=e^{-i\omega t_0}\hat f(\omega).
  • Modulação (deslocamento em frequência):
\mathcal F\{e^{i\omega_0 t}f(t)\}(\omega)=\hat f(\omega-\omega_0).
  • Convolução no tempo ↔ multiplicação no espectro:
\mathcal F\{f*g\}(\omega)=\hat f(\omega)\,\hat g(\omega),
onde (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.
  • Teorema de Parseval/Plancherel (convenção angular):
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\omega)|^2\,d\omega.

Passo 8

Exemplos rápidos (úteis para memorização):
  • Delta de Dirac: \mathcal F\{\delta\}(\omega)=1. Isso vem de \int \delta(t)e^{-i\omega t}dt=e^{-i\omega\cdot 0}=1.
  • Exponencial causal: para \Re(a)>0 e f(t)=e^{-a t}u(t) (onde u é o degrau de Heaviside),
\hat f(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-a t}e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{a+i\omega}.
  • Gaussiana: para f(t)=e^{-t^{2}/2},
\hat f(\omega)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^{2}/2}
na convenção com \int e^{-i\omega t}\,dt (isso mostra que a gaussiana é estável pela transformada).

Passo 9

Dica prática para provas (motivação e ânimo): antes de aplicar fórmulas, identifique a convenção pedida; anote-a no canto da sua folha; use propriedades (time shift, modulação, escala, convolução) para evitar integrais longas; e se travar, tente lembrar um exemplo (delta, exponencial, gaussiana) para checar constantes. Você consegue — respira, um passo de cada vez.

Resposta

\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega

Exercícios relacionados