Um transformador monofásico de 30 \mathrm{kVA}, 120 / 220, foi utilizado com autotransformador, com polaridade aditiva, alimentado pelo lado de baixa tensão; calcule:
a) As correntes nominais do transformador;
b) A nova potência como autotransformador e o ganho em porcentual em relação ao transformador original;
c) As novas grandezas elétricas (tensões e correntes) que circulam no autotransformador.

Passo 1

O enunciado dá um transformador monofásico com potência aparente nominal \;S=30\,\text{kVA}\; e tensões nominais \;120/220\; (lado de baixa tensão \;120\;\text{V} e lado de alta tensão \;220\;\text{V}). Foi usado como autotransformador com polaridade aditiva, sendo alimentado pelo lado de baixa tensão. O que se pede:
a) As correntes nominais do transformador (isto é, as correntes nas tomadas de \;120\;\text{V} e \;220\;\text{V} quando o transformador opera isolado em sua potência nominal \;30\,\text{kVA}).
b) A nova potência como autotransformador (potência aparente máxima que o autotransformador pode fornecer) e o ganho percentual em relação ao transformador original.
c) As novas grandezas elétricas no arranjo autotransformador: tensões relevantes e correntes que circulam (corrente de carga, correntes nas bobinas/terminais, e como se divide a potência entre parte direta e parte transformada).
Dados relevantes extraídos do enunciado: \;S=30\,\text{kVA}=30000\,\text{VA},\;V_{\text{LV}}=120\,\text{V},\;V_{\text{HV}}=220\,\text{V}.

Passo 2

Calcular as correntes nominais do transformador isolado (questão a).
Fórmula usada: para um transformador monofásico ideal a corrente nominal em cada enrolamento é a potência aparente dividida pela tensão nominal do respectivo enrolamento. Ou seja,
I=\frac{S}{V}.
Aqui I é a corrente eficaz (em ampères), S é a potência aparente (em volt-ampères) e V é a tensão nominal (em volts). Essa fórmula vem da definição de potência aparente monofásica: \;S=V\cdot I\; (para fator de potência unitário ou para magnitude das grandezas). Agora aplicamos aos dois lados.
Cálculo da corrente no lado de baixa tensão ( 120\;\text{V}):
I_{120}=\frac{S}{V_{120}}=\frac{30000}{120}=250\\ \text{A}.
Cálculo da corrente no lado de alta tensão ( 220\;\text{V}):
I_{220}=\frac{S}{V_{220}}=\frac{30000}{220}=136{,}36\\ \text{A}.
Comentário amigo: então, originalmente, se o transformador estiver entregando os \;30\,\text{kVA}\; nominais, a bobina de 120\;\text{V} teria que fornecer 250\;\text{A} — bem grande — enquanto a bobina de 220\;\text{V} trabalha com cerca de 136{,}36\;\text{A}.

Passo 3

Entender o autotransformador (base do item b).
Como autotransformador com polaridade aditiva sendo alimentado pelo lado de baixa tensão ( V_{120}), o terminal de saída (série) terá a soma das tensões:
V_{\text{out}}=V_{120}+V_{220}=120+220=340\\ \text{V}.
Agora, para achar a potência máxima que esse arranjo pode fornecer, usamos uma ideia simples e segura: o transformador original, quando empregado como autotransformador, ainda não pode transferir magneticamente mais potência do que sua potência nominal S. A potência entregue pela parte magneticamente transferida é limitada a S. Entretanto, o autotransformador entrega potência total maior porque parte da potência é fornecida diretamente pela conexão elétrica série (sem passar pelo transformador magneticamente). Se a corrente que circula nas bobinas for I (a mesma corrente de carga, pois as bobinas estão em série no arranjo), então a potência magneticamente transferida é V_{220}\,I e não pode exceder S. Logo, no máximo:
V_{220}\,I=S \quad\Rightarrow\quad I=\frac{S}{V_{220}}.
A potência total disponível na saída (autotransformador) será
S_{\text{auto}}=V_{\text{out}}\,I=V_{\text{out}}\left(\frac{S}{V_{220}}\right)=S\left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{220}}\right).
Essa é a fórmula de ganho do autotransformador construída a partir do transformador original. Em palavras: o autotransformador pode fornecer um fator \tfrac{V_{\text{out}}}{V_{220}} vezes a potência S do transformador isolado.

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular a nova potência (item b).
Primeiro calculemos a razão:
\frac{V_{\text{out}}}{V_{220}}=\frac{340}{220}=1{,}545454\ldots
Portanto
S_{\text{auto}}=S\left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{220}}\right)=30000\cdot\frac{340}{220}=46363{,}64\\ \text{VA}\approx46{,}36\\ \text{kVA}.
Cálculo do ganho percentual em relação ao transformador original:
\text{Ganho (\%)}=\frac{S_{\text{auto}}-S}{S}\times100\%=\left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{220}}-1\right)\times100\%=\left(1{,}545454-1\right)\times100\%=54{,}5454\%\approx54{,}55\%.
Comentário amigo: ou seja, transformando-o em autotransformador aditivo e alimentando o lado de 120\;\text{V}, ganhamos cerca de 54{,}6\% a mais de capacidade aparente — útil quando queremos um boost de tensão sem trocar todo o equipamento.

Passo 5

Calcular as novas grandezas elétricas (item c): tensões e correntes no autotransformador, e divisão das potências (parte direta vs. parte transformada).
  1. Tensão de saída (já obtida):
V_{\text{out}}=V_{120}+V_{220}=340\\ \text{V}.
  1. Corrente de carga (corrente na saída) quando o autotransformador entrega sua potência máxima S_{\text{auto}}:
I_{\text{carga}}=\frac{S_{\text{auto}}}{V_{\text{out}}}=\frac{46363{,}64}{340}=136{,}36\\ \text{A}.
Observação importante (interpretação física): nessa configuração as bobinas estão em série no caminho da corrente de carga, logo a corrente que passa pelas bobinas é \;I_{\text{carga}}=136{,}36\;\text{A}. Comparando com as correntes nominais do transformador isolado: a bobina de 220\;\text{V} está carregada praticamente em seu valor nominal ( 136{,}36\;\text{A}), enquanto a bobina de 120\;\text{V} agora passa menos corrente que antes (antes era 250\;\text{A} se o transformador trabalhasse isolado a 30\,\text{kVA}, agora passou para 136{,}36\;\text{A}).
  1. Divisão da potência entregue:
  • Potência magneticamente transferida pelo transformador (limitada a S):
S_{\text{transformada}}=V_{220}\,I_{\text{carga}}=220\cdot136{,}36=30000\\ \text{VA}=30\\ \text{kVA}.
  • Potência fornecida diretamente pela parte série (sem passar pelo circuito magnético): é a diferença
S_{\text{direta}}=S_{\text{auto}}-S_{\text{transformada}}=46363{,}64-30000=16363{,}64\\ \text{VA}.
Note que também vale S_{\text{direta}}=V_{120}\,I_{\text{carga}}=120\cdot136{,}36=16363{,}64\\ \text{VA}, que confirma a conta.
  1. Correntes em cada bobina (resumo):
  • Corrente na bobina de 120\;\text{V}: I_{120,\text{auto}}=I_{\text{carga}}=136{,}36\\ \text{A}.
  • Corrente na bobina de 220\;\text{V}: I_{220,\text{auto}}=I_{\text{carga}}=136{,}36\\ \text{A}.
Comentário prático e motivador: portanto, ao montar o autotransformador você conseguiu uma saída de 340\;\text{V} e entrega cerca de 46{,}36\\ \text{kVA} no total, mantendo a bobina de 220\;\text{V} em sua corrente nominal 136{,}36\;\text{A} — por isso este é o limite físico da configuração.

Resposta

a) I_{120} = 250\\ \text{A},\; I_{220} = 136{,}36\\ \text{A}.
b) S_{\text{auto}} = 46{,}36\\ \text{kVA}, ganho =54{,}55\%.
c) V_{\text{out}}=340\\ \text{V};\; I_{\text{carga}}=136{,}36\\ \text{A};\; I_{120,\text{auto}}=136{,}36\\ \text{A};\; I_{220,\text{auto}}=136{,}36\\ \text{A};\; S_{\text{direta}}=16{,}36\\ \text{kVA},\; S_{\text{transformada}}=30\\ \text{kVA}.

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