Um transformador trifásico, com fechamento \Delta-\mathrm{Y} é usado para baixar a tensão em uma linha de transmissão de 500 kV , para alimentar uma planta industrial operando e uma tensão de 15 kV . A planta possui potência de 50 MW com fator de potência de 0,85 atrasado. Encontre:
a. A corrente exigida pela planta.
b. A relação de transformação.
c. A relação de espiras.
d. A corrente no lado do primário do transformador.

Passo 1

O enunciado dá um transformador trifásico com fechamento \Delta-\mathrm{Y} que reduz a tensão de uma linha de transmissão para alimentar uma planta. Os dados e perguntas são:
  • Tensão do lado primário (linha a linha): \;500\\ \mathrm{kV}.
  • Tensão do lado secundário (linha a linha, tensão da planta): \;15\\ \mathrm{kV}.
  • Potência ativa da planta: \;50\\ \mathrm{MW}.
  • Fator de potência da planta: \;0{,}85 (atrasado).
    Perguntas:
    a. Qual a corrente exigida pela planta (lado secundário)?
    b. Qual a relação de transformação (razão de tensões / relação de transformação adequada ao fechamento \Delta-\mathrm{Y})?
    c. Qual a relação de espiras N_p/N_s?
    d. Qual a corrente no lado primário do transformador?

Passo 2

Primeiro passo físico-matemático: encontrar a potência aparente trifásica S da planta. Explicação rápida: a potência aparente S (em VA) combina a potência real P (em W) e o fator de potência \mathrm{pf}. A relação é
S=\frac{P}{\mathrm{pf}},
onde P é a potência ativa (em W) e \mathrm{pf} é adimensional. Substituindo os valores dados:
S=\frac{50\\ \mathrm{MW}}{0{,}85}=\frac{50\,000\,000\\ \mathrm{W}}{0{,}85}=58\,823\,529{,}4118\\ \mathrm{VA}\approx 58{,}823\,529\\ \mathrm{VA}.
Interpretação: a planta exige cerca de 58{,}8\\ \mathrm{MVA} de potência aparente.

Passo 3

Agora calculamos a corrente de linha no lado secundário (lado da planta) usando a fórmula trifásica padrão. A fórmula para corrente de linha em sistema trifásico balanceado é
I_{\text{linha}}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{LL}},
onde S é a potência aparente (em VA) e V_{LL} é a tensão linha-a-linha (em V). Aqui V_{LL}=15\\ \mathrm{kV}=15\,000\\ \mathrm{V}. Substituindo:
I_{s}=\frac{58\,823\,529{,}4118}{\sqrt{3}\cdot 15\,000}.
Calculemos passo a passo: \sqrt{3}\approx 1{,}73205, então o denominador é 1{,}73205\cdot 15\,000 \approx 25\,980{,}762. Logo
I_{s}\approx \frac{58\,823\,529{,}4118}{25\,980{,}762}\approx 2\,264{,}79\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a planta exige cerca de \;2{,}264{,}8\\ \mathrm{kA} no lado secundário.

Passo 4

Agora a relação de transformação. Explicação importante sobre \Delta-\mathrm{Y}:
  • No primário em \Delta, a tensão de fase (tensão entre extremos do enrolamento) é igual à tensão de linha do primário: V_{p,\text{fase}}=V_{p,LL}.
  • No secundário em \mathrm{Y}, a tensão de fase é menor que a tensão de linha: V_{s,\text{fase}}=\dfrac{V_{s,LL}}{\sqrt{3}}.
    A relação de transformação (razão de tensões por fase, que determina a razão de espiras) é
a=\frac{N_p}{N_s}=\frac{V_{p,\text{fase}}}{V_{s,\text{fase}}} =\frac{V_{p,LL}}{V_{s,LL}/\sqrt{3}}=\frac{V_{p,LL}\,\sqrt{3}}{V_{s,LL}}.
Substituindo V_{p,LL}=500\\ \mathrm{kV} e V_{s,LL}=15\\ \mathrm{kV}:
a=\frac{500\,\mathrm{kV}\cdot\sqrt{3}}{15\,\mathrm{kV}}=\frac{500\cdot\sqrt{3}}{15}.
Calculando numericamente:
a\approx \frac{500\cdot 1{,}73205}{15}\approx 57{,}735.
Comentário útil: se alguém calcular apenas a razão linha-a-linha 500/15=33{,}333 esse valor não é a razão de espiras por fase porque o desbalanceamento de \sqrt{3} entre linha e fase em Y introduz o fator \sqrt{3}. Portanto a razão de transformação de espiras/ fases é \approx 57{,}735.

Passo 5

A relação de espiras é exatamente a razão N_p/N_s=a obtida no passo anterior. Então
\frac{N_p}{N_s}=57{,}735\approx 57{,}74:1.
Interpretação prática: para cada espira no secundário (por fase), o primário deve ter cerca de 57{,}735 espiras (na hipótese de transformador ideal e que estamos comparando enrolamentos fase a fase conforme o fechamento).

Passo 6

Agora a corrente no primário. Duas maneiras equivalentes (verificação e ensino):
Método A — usando potência e tensão no primário: em transformador ideal a potência aparente é (aproximadamente) a mesma nos dois lados, então a corrente de linha no primário é
I_{p}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{p,LL}}.
Substituindo S=58\,823\,529{,}4118\\ \mathrm{VA} e V_{p,LL}=500\\ \mathrm{kV}=500\,000\\ \mathrm{V}:
I_{p}=\frac{58\,823\,529{,}4118}{\sqrt{3}\cdot 500\,000}.
Calculando: \sqrt{3}\cdot 500\,000\approx 866\,025{,}404, portanto
I_{p}\approx \frac{58\,823\,529{,}4118}{866\,025{,}404}\approx 67{,}95\\ \mathrm{A}.
Método B — usando a relação de transformação de correntes: a corrente de fase no primário é a corrente de fase do secundário dividida pela razão de espiras a. Em seguida, como o primário está em \Delta, a corrente de linha no primário é \sqrt{3} vezes a corrente de fase do primário. Formalmente:
I_{p,\text{fase}}=\frac{I_{s,\text{fase}}}{a},\qquad I_{p,\text{linha}}=\sqrt{3}\,I_{p,\text{fase}}=\sqrt{3}\,\frac{I_{s,\text{fase}}}{a}.
Como no secundário em Y temos I_{s,\text{fase}}=I_{s,\text{linha}}, isso vira
I_{p,\text{linha}}=\sqrt{3}\,\frac{I_{s,\text{linha}}}{a}.
Substituindo I_{s,\text{linha}}\approx 2\,264{,}79\\ \mathrm{A} e a\approx 57{,}735:
I_{p,\text{linha}}\approx \frac{1{,}73205\cdot 2\,264{,}79}{57{,}735}\approx 67{,}95\\ \mathrm{A},
o que coincide com o Método A. Conclusão: a corrente no lado primário é cerca de \;67{,}95\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) I_{s}=2\,264{,}79\\ \mathrm{A}
(b) a_{\text{(tensão/espiras por fase)}}=\dfrac{V_{p,LL}\sqrt{3}}{V_{s,LL}}\approx 57{,}735ã
(c) \dfrac{N_{p}}{N_{s}}=57{,}735\approx 57{,}74:1
(d) I_{p}=67{,}95\\ \mathrm{A}

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