Transformar na matriz unidade (identidade) as matrizes dadas.
A=\left[ \begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para transformar a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
na matriz identidade usando eliminação de Gauss–Jordan. Para isso, vamos montar a matriz aumentada [A\mid I_4] e aplicar operações elementares de linha até obter [I_4\mid A^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\bigl[A\mid I_4\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &\mid& 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0 & 0 &\mid& 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & 1 & 0 &\mid& 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 &\mid& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da coluna 1 (que está em R_1): R_2\leftarrow R_2+2R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1.
Após isso, a aumentada fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &\mid& 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\mid& 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 & 0 &\mid& -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 &\mid& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Passo 4

Agora pivotamos em R_2 (coluna 2) e eliminamos abaixo: R_3\leftarrow R_3+2R_2 e R_4\leftarrow R_4-R_2.
O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &\mid& 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\mid& 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 &\mid& 3 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & 1 &\mid& -2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Passo 5

Por fim, pivotamos em R_3 (coluna 3) e eliminamos abaixo: R_4\leftarrow R_4+2R_3.
Chegamos a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &\mid& 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\mid& 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 &\mid& 3 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 &\mid& 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
que é [I_4\mid A^{-1}].

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

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