Transforme a equação
Em uma equação equivalente, porém em coordenadas esféricas.
Em uma equação equivalente, porém em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação que está em coordenadas cartesianas e quer transformá-la para coordenadas esféricas. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo Avançado ou Física Matemática, onde a gente aprende a mudar o sistema de coordenadas para facilitar a resolução de equações. Vamos precisar entender como as derivadas parciais se comportam ao fazer essa mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a nossa equação original em coordenadas cartesianas:
Aqui, $ C_A $ pode representar uma concentração, e $ N_{Ax}, N_{Ay}, N_{Az} $ são os fluxos nessas direções. $ R_{A}^{\prime \prime \prime} $ é uma fonte ou sumidouro.
Passo 3
Nosso objetivo é reescrever essa equação em coordenadas esféricas
. Para isso, precisamos saber como as derivadas parciais se transformam. As coordenadas esféricas são úteis quando o problema tem simetria radial, ou seja, quando tudo depende da distância $ r $ do ponto até a origem.
Passo 4
Vamos substituir as derivadas parciais em coordenadas cartesianas pelas correspondentes em coordenadas esféricas. A relação entre as derivadas é dada por:
E de forma similar para $ \frac{\partial}{\partial y} $ e $ \frac{\partial}{\partial z} $.
Passo 5
No entanto, para simplificar, vamos considerar que os fluxos $ N_{A} $ também serão expressos em termos radiais, $ \theta $ e $ \phi $. Assim, a divergência em coordenadas esféricas fica:
Passo 6
Substituindo a divergência na nossa equação original, temos:
Passo 7
Essa é a equação equivalente em coordenadas esféricas. Ela leva em conta como as mudanças nas direções radiais e angulares afetam a concentração $ C_A $ ao longo do tempo.
Resposta
A equação transformada em coordenadas esféricas fica: