Transforme a equação partial CApartial t+partial NA xpartial x+partial NA ypartial y+partial NA zpartial z=RA^prime prime prime
Em uma equação equivalente, porém em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação que está em coordenadas cartesianas e quer transformá-la para coordenadas esféricas. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo Avançado ou Física Matemática, onde a gente aprende a mudar o sistema de coordenadas para facilitar a resolução de equações. Vamos precisar entender como as derivadas parciais se comportam ao fazer essa mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a nossa equação original em coordenadas cartesianas:
partial CApartial t + partial NAxpartial x + partial NAypartial y + partial NAzpartial z = RA^prime prime prime
Aqui, $ C_A $ pode representar uma concentração, e $ N_{Ax}, N_{Ay}, N_{Az} $ são os fluxos nessas direções. $ R_{A}^{\prime \prime \prime} $ é uma fonte ou sumidouro.

Passo 3

Nosso objetivo é reescrever essa equação em coordenadas esféricas (r, theta, phi). Para isso, precisamos saber como as derivadas parciais se transformam. As coordenadas esféricas são úteis quando o problema tem simetria radial, ou seja, quando tudo depende da distância $ r $ do ponto até a origem.

Passo 4

Vamos substituir as derivadas parciais em coordenadas cartesianas pelas correspondentes em coordenadas esféricas. A relação entre as derivadas é dada por:
partialpartial x = sintheta cosphi partialpartial r + costheta cosphir partialpartial theta - sinphir sintheta partialpartial phi
E de forma similar para $ \frac{\partial}{\partial y} $ e $ \frac{\partial}{\partial z} $.

Passo 5

No entanto, para simplificar, vamos considerar que os fluxos $ N_{A} $ também serão expressos em termos radiais, $ \theta $ e $ \phi $. Assim, a divergência em coordenadas esféricas fica:
NA

Passo 6

Substituindo a divergência na nossa equação original, temos:
partial CApartial t + 1r^2 partialpartial r (r^2 NAr) + 1r sintheta partialpartial theta ( sintheta NAtheta ) + 1r sintheta partial NAphipartial phi = RA^prime prime prime

Passo 7

Essa é a equação equivalente em coordenadas esféricas. Ela leva em conta como as mudanças nas direções radiais e angulares afetam a concentração $ C_A $ ao longo do tempo.

Resposta

A equação transformada em coordenadas esféricas fica:
partial CApartial t + 1r^2 partialpartial r ( r^2 NAr ) + 1r sintheta partialpartial theta ( sintheta NAtheta ) + 1r sintheta partial NAphipartial phi = RA^prime prime prime

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