Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar a integral dada em coordenadas polares e resolver. Estamos lidando com integrais duplas, especificamente integrando a função
sobre uma determinada região. Para resolver esse tipo de integral, coordenadas polares são super úteis, especialmente quando a região de integração tem simetria circular ou radial. Então, vamos precisar entender como converter de coordenadas retangulares (x, y) para polares (r, θ) e aplicar essa transformação na nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a transformação para coordenadas polares:
Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é dada por:
E a função
em coordenadas polares simplifica para:
Então, vamos substituir tudo isso na nossa integral original.
Passo 3
Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares. A região de integração original vai de
a
e de
a
. Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio
. Em coordenadas polares, isso corresponde a
indo de
a
(90 graus) e
indo de
a
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando a expressão, fica:
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.