Em se tratando de soldagem, por que o escoamento do jato de plasma pode atingir velocidades da ordem de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (ou até mais) em um pequeno espaço (\sim 5 \mathrm{~mm}) ?
Passo 1
O que a pergunta pede e os dados fornecidos:
Pergunta: explicar por que o jato de plasma em soldagem consegue atingir velocidades da ordem de 300\\ \mathrm{m/s} (ou mais) ao percorrer um espaço pequeno, da ordem de 5\\ \mathrm{mm}.
Dados/valores citados no enunciado: velocidade típica v\sim 300\\ \mathrm{m/s} e comprimento de aceleração s\sim 5\\ \mathrm{mm}.
Não há outros números explícitos no enunciado, então vou usar parâmetros típicos de plasmas de tocha (gases nobres como argônio, temperaturas elevadas, pressões e correntes de arco) para explicar por que essa velocidade é plausível.
Passo 2
Visão geral dos mecanismos físicos que permitem essa aceleração (lista breve, para depois explicar cada um):
Conversão da energia térmica/entálpica do gás quente em energia cinética (expansão e aceleração por diferencial de pressão).
Propriedades do gás/plasma (temperaturas muito altas -> grande energia por massa e alta velocidade do som).
Geometria e estrangulamento no bocal (nozzle) que cria gradientes de pressão fortes e até escoamento chocado/sonoro, concentrando aceleração em um pequeno comprimento.
Forças eletromagnéticas (efeito pinch / força \mathbf{J}\times\mathbf{B}) que podem comprimir e acelerar o plasma no interior da tocha, acrescentando aceleração além da puramente gasodinâmica.
Passo 3
Energia disponível no plasma e conversão em velocidade: conceito e fórmula
Ideia física: a energia térmica/entalpia por unidade de massa do plasma pode ser convertida em energia cinética. Em forma simples, para um gás ideal, se uma fração da entalpia disponível \Delta h for transformada em energia cinética, vale aproximadamente
\frac{1}{2}v^{2}\approx \Delta h.
Para um gás ideal, a capacidade calorífica a pressão constante é c_{p} e uma queda de temperatura \Delta T corresponde a \Delta h\approx c_{p}\,\Delta T. Assim uma estimativa de velocidade máxima disponível é
v_{\max}\approx\sqrt{2\,c_{p}\,\Delta T}.
Para um gás monoatômico (boa aproximação para argônio), c_{p}=\dfrac{5}{2}R, onde R é a constante dos gases específica do gás. Para argônio R\approx 208\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Exemplo numérico (ordem de grandeza): supondo que o plasma tem temperatura típica de T\sim 10{,}000\\ \mathrm{K} e que parte da entalpia é convertida em velocidade, então tomando \Delta T\sim T para um limite superior,
v_{\max}\approx\sqrt{5 R T}\approx\sqrt{5\cdot 208\cdot 10{,}000}\approx 3{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Conclusão deste passo: a energia térmica disponível em plasmas de tocha é muito grande; velocidades na casa de 300\\ \mathrm{m/s} são uma fração pequena do máximo teoricamente disponível, portanto energeticamente são perfeitamente plausíveis.
Passo 4
Velocidade do som no plasma e implicação sobre o escoamento
A velocidade do som num gás ideal é
a=\sqrt{\gamma R T},
onde \gamma é a razão de capacidades (para gás monoatômico \gamma\approx 5/3), R é a constante específica e T a temperatura.
Com T\sim 10{,}000\\ \mathrm{K}, \gamma=5/3 e R\approx 208\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
Interpretação: a velocidade do som no plasma é da ordem de 10^{3}\\ \mathrm{m/s}; portanto 300\\ \mathrm{m/s} é sub-sônico (Mach \sim 0{,}16) neste exemplo. Isso mostra que a dinâmica compressível permite grandes variações de velocidade sem necessidade de exageradas diferenças de pressão locais.
Passo 5
Quanto de aceleração (e que gradiente de pressão) é necessário para ir de quase zero a 300\\ \mathrm{m/s} em 5\\ \mathrm{mm}?
Para um movimento unidirecional com aceleração média a em distância s,
v^{2}=2 a s \quad\Rightarrow\quad a=\frac{v^{2}}{2s}.
Usando v=300\\ \mathrm{m/s} e s=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m},
Parece um número enorme, mas precisamos ver que diferença de pressão é necessária para produzir essa aceleração em um fluido de baixa densidade. A equação de movimento (forma simplificada de Euler) relaciona aceleração a gradiente de pressão:
\rho\, a \approx \frac{\Delta p}{s},
ou seja \Delta p \approx \rho\, a\, s.
Estimando a densidade do plasma (ordem de grandeza) com a equação dos gases:
\Delta p \approx \rho\, a\, s \approx 4{,}8\times10^{-2}\cdot 9{,}0\times10^{6}\cdot 5\times10^{-3}\approx 2{,}16\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}\approx 2{,}2\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: para conseguir 300\\ \mathrm{m/s} em 5\\ \mathrm{mm} basta um gradiente de pressão da ordem de alguns \mathrm{kPa}. Esse valor é pequeno comparado às pressões dinâmicas/locais e às sobrepressões geradas por um arco elétrico e/ou constrição do bocal, logo é facilmente alcançável.
Passo 6
Papel do bocal (nozzle) e escoamento chocado/isentrópico — por que a aceleração ocorre num espaço curto
Um bocal estreito (constrição) converte pressão/entalpia em velocidade: o gás quente e pressurizado na região do arco passa por um estrangulamento e expande-se, transformando energia térmica/pressão em energia cinética no jato.
Em termos de fórmulas isentrópicas (fluxo compressível), a velocidade obtida a partir da pressão de estagnação p_{0} e pressão estática p é, para gás ideal,
onde T_{0} é a temperatura de estagnação. Isso mostra que uma razão de pressão p_{0}/p moderada já gera velocidades substanciais. Não é preciso uma queda total da pressão para alcançar centenas de metros por segundo.
Além disso, o estrangulamento concentra o efeito num comprimento pequeno: a mudança de área e o gradiente de pressão local são grandes, então a aceleração ocorre em poucos milímetros.
Em uma tocha de arco o plasma conduz corrente elétrica \mathbf{J} e gera campo magnético \mathbf{B}. A força por unidade de volume é
\mathbf{f}=\mathbf{J}\times\mathbf{B}.
Ordem-de-grandeza: se houver densidades de corrente e campos magnéticos razoáveis, essa força volumétrica pode ser grande. Por exemplo, com J\sim 10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}} e B\sim 0{,}05\\ \mathrm{T} tem-se f\sim 5\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}. Dividindo pela densidade \rho\sim 5\times10^{-2}\\ \mathrm{kg/m^{3}} dá uma aceleração da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{m/s^{2}} — suficiente para acelerar o plasma muito rapidamente em distâncias curtas.
Em palavras simples: o efeito pinch (auto-magnetização) concentra o arco e “empurra” o plasma para fora do bocal, somando-se à aceleração por pressão.
Passo 8
Síntese: por que, então, 300\\ \mathrm{m/s} (ou mais) em \sim 5\\ \mathrm{mm} é natural
Energia térmica enorme por unidade de massa (altas temperaturas) -> existe muita energia disponível que pode virar velocidade.
A velocidade do som no plasma é grande (\sim 10^{3}\\ \mathrm{m/s}), então velocidades de algumas centenas de m/s são moderadas em relação ao limite compressível.
A geometria do bocal cria gradientes de pressão bem fortes em distâncias pequenas; matematicamente, apenas alguns \mathrm{kPa} de diferença de pressão são suficientes para fornecer a aceleração necessária em 5\\ \mathrm{mm}.
Forças eletromagnéticas internas ao plasma frequentemente aumentam a compressão/velocidade (efeito \mathbf{J}\times\mathbf{B}), ajudando a concentrar o jato e a acelerar os portadores de massa.
Resultado prático: combinação de alta energia térmica, baixa densidade (portanto pequena inércia por massa), gradientes de pressão concentrados e forças MHD torna rotineiro obter v\gtrsim 300\\ \mathrm{m/s} em poucas milésimas de metro numa tocha de soldagem.
Resposta
Porque o plasma tem muita energia térmica por unidade de massa (altas temperaturas) e baixa densidade, a geometria do bocal cria gradientes de pressão muito grandes em poucos milímetros e ainda podem agir forças eletromagnéticas (\mathbf{J}\times\mathbf{B}). Com isso a entalpia/pressão disponível se converte rapidamente em energia cinética: apenas algumas quilopascals de queda de pressão ao longo de \sim 5\\ \mathrm{mm} são suficientes para acelerar o fluido até \sim 300\\ \mathrm{m/s}, e a velocidade do som no plasma (ordem de 10^{3}\\ \mathrm{m/s}) e efeitos MHD tornam essa aceleração física e comum nas tochas de soldagem.