Um trem com aceleração máxima
e desaceleração máxima
(módulo da aceleração de freamento) em repouso na estação
, parte do repouso e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Em seguida, mantém essa mesma velocidade por um certo tempo, até atingir um certo ponto
, e a partir desse ponto ele freia com a desaceleração máxima
até parar na estação
. Sabendo que a distância entre as estações
e
é
, calcule o tempo total entre as estações A e B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um trem que parte da estação A, acelera até uma certa velocidade, mantém essa velocidade por um tempo, e depois freia até parar na estação B. A distância entre A e B é $ d $. Nosso objetivo é calcular o tempo total que o trem leva para ir de A até B. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento uniformemente acelerado e desacelerado, além de entender como calcular tempos e distâncias em cada etapa do trajeto.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o trajeto em três partes:
- Aceleração: o trem parte do repouso e acelera até atingir uma velocidade $ v $.
- Movimento a velocidade constante: o trem mantém a velocidade $ v $ por um certo tempo.
- Desaceleração: o trem freia até parar na estação B.
Passo 3
Vamos começar calculando o tempo e a distância durante a aceleração. Sabemos que:
- A aceleração máxima é $ a $.
- O trem parte do repouso, então a velocidade inicial $ v_0 = 0 $.
- A velocidade final após a aceleração é $ v $.
Usamos a fórmula da velocidade no Movimento Uniformemente Acelerado (MUA):
Como $ v_0 = 0 $, temos:
A distância percorrida durante a aceleração ($ s_1 $) é dada por:
Substituindo $ v_0 = 0 $ e $ t_1 = \frac{v}{a} $:
Passo 4
Agora, vamos para a desaceleração. Sabemos que:
- A desaceleração máxima é $ f $.
- O trem vai de velocidade $ v $ até parar, então a velocidade final é $ 0 $.
Usamos a fórmula da velocidade no Movimento Uniformemente Variado (MUV):
A distância percorrida durante a desaceleração ($ s_3 $) é:
Substituindo $ t_3 = \frac{v}{f} $:
Passo 5
A distância total entre as estações é $ d $, que é a soma das três partes:
Onde $ s_2 $ é a distância percorrida a velocidade constante $ v $. Substituindo $ s_1 $ e $ s_3 $:
Resolvendo para $ s_2 $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o tempo $ t_2 $ durante o movimento a velocidade constante:
Simplificando:
Passo 7
O tempo total ($ T $) é a soma dos tempos nas três etapas:
Substituindo $ t_1 = \frac{v}{a} $, $ t_2 = \frac{d}{v} - \frac{v}{2a} - \frac{v}{2f} $, e $ t_3 = \frac{v}{f} $:
Simplificando:
Passo 8
Para encontrar $ v $, podemos considerar que a distância total $ d $ é fixa e queremos minimizar $ T $. Isso ocorre quando $ v $ é tal que o tempo de aceleração e desaceleração sejam equilibrados. Resolvendo a equação para $ v $:
Mas para simplificação, assumindo que $ t_2 $ pode ser expresso em termos de $ v $, chegamos à relação final que conecta $ v $, $ a $, $ f $ e $ d $. No entanto, para este exercício, vamos expressar $ T $ em termos de $ a $, $ f $ e $ d $.
Resposta
O tempo total entre as estações A e B é:
Onde $ v $ é a velocidade atingida durante a aceleração. Para obter uma expressão final completamente em termos de $ a $, $ f $ e $ d $, seria necessário resolver a equação $ d = \frac{v^2}{2a} + \frac{v^2}{2f} + v t_2 $ para $ v $, o que envolve mais cálculos dependendo das condições específicas do problema.