Um trem de alta velocidade possui comprimento próprio de 250 m e passa por um observador em repouso na Terra. Segundo esse observador, o tempo necessário para que todo o trem atravesse um ponto fixo na via é de
. Considerando os efeitos relativísticos, a velocidade do trem, medida pelo observador na Terra, é aproximadamente:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Comprimento próprio do trem (medido no referencial do trem):
. - Tempo medido pelo observador na Terra para o trem inteiro passar por um ponto fixo:
. - Pede a velocidade do trem medida pelo observador na Terra — escolher a alternativa correta entre:
a).
b).
c).
d).
e).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O comprimento dado é o comprimento próprio
(ou seja, medida no referencial do trem). - O tempo
é medido no referencial da Terra para um ponto fixo — é o tempo que leva para a extensão do trem, no referencial da Terra, passar por esse ponto. - Devem ser considerados efeitos relativísticos (comprimento contraído na Terra).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando devagar):
- Quando um objeto tem comprimento próprio
(medido no referencial em que ele está em repouso), um observador que vê o objeto movendo-se à velocidade mede um comprimento contraído
onde
é o fator de Lorentz e
é a velocidade da luz no vácuo. Aqui:
-
é o comprimento do trem no referencial da Terra, -
é o comprimento próprio (no referencial do trem), -
é a velocidade relativa entre trem e observador, -
é a velocidade da luz. -
Para um observador fixo em relação aos trilhos, o tempo que o trem leva para que toda sua extensão passe por um ponto fixo é simplesmente o comprimento do trem naquele referencial dividido pela velocidade:
Portanto substituímos o comprimento contraído
na expressão do tempo.
Passo 3
Montando a equação que relaciona os dados com a velocidade:
Usando
e
, obtemos
Para facilitar a álgebra, definimos
. Então
e a equação vira
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Agrupando termos com
:
Logo
Essa fórmula é intuitiva: quando
é pequeno comparado a
então
fica perto de 1, mas sempre menor que 1.
Passo 4
Substituindo os valores numéricos (fazendo as contas passo a passo, sem pular):
- Tomamos
. - Calculamos
:
- Agora a razão
é igual a . Calculamos:
logo
- Portanto
- Calculando numericamente:
Assim
, que com duas casas corresponde a
.
Passo 5
Verificação rápida e interpretação:
- O valor obtido é menor que
, então é fisicamente aceitável (a alternativa (e) com seria impossível). - Entre as opções dadas, a que mais se aproxima é a letra c),
. - Intuitivamente: o tempo extremamente curto exige uma velocidade relativística elevada; o comprimento próprio de
é visto contraído pelo observador, permitindo que em o trem todo passe por um ponto.
Resposta
c)