Um trem de alta velocidade possui comprimento próprio de 250 m e passa por um observador em repouso na Terra. Segundo esse observador, o tempo necessário para que todo o trem atravesse um ponto fixo na via é de 7,5 \times 10^{-7} \mathrm{~s}. Considerando os efeitos relativísticos, a velocidade do trem, medida pelo observador na Terra, é aproximadamente:
a) 0,50 \mathrm{c}.
b) 0,62 \mathrm{c}.
c) 0,74 \mathrm{c}.
d) 0,90 \mathrm{c}.
e) 1,20 \mathrm{c}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Comprimento próprio do trem (medido no referencial do trem): L_0 = 250\\ \mathrm{m}.
  • Tempo medido pelo observador na Terra para o trem inteiro passar por um ponto fixo: t = 7{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
  • Pede a velocidade do trem medida pelo observador na Terra — escolher a alternativa correta entre:
    a) 0{,}50\,c.
    b) 0{,}62\,c.
    c) 0{,}74\,c.
    d) 0{,}90\,c.
    e) 1{,}20\,c.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O comprimento dado é o comprimento próprio L_0 (ou seja, medida no referencial do trem).
  • O tempo t é medido no referencial da Terra para um ponto fixo — é o tempo que leva para a extensão do trem, no referencial da Terra, passar por esse ponto.
  • Devem ser considerados efeitos relativísticos (comprimento contraído na Terra).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando devagar):
  • Quando um objeto tem comprimento próprio L_0 (medido no referencial em que ele está em repouso), um observador que vê o objeto movendo-se à velocidade v mede um comprimento contraído
L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},
onde \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} é o fator de Lorentz e c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui:
  • L é o comprimento do trem no referencial da Terra,
  • L_0 é o comprimento próprio (no referencial do trem),
  • v é a velocidade relativa entre trem e observador,
  • c é a velocidade da luz.
  • Para um observador fixo em relação aos trilhos, o tempo que o trem leva para que toda sua extensão passe por um ponto fixo é simplesmente o comprimento do trem naquele referencial dividido pela velocidade:
t = \frac{L}{v}.
Portanto substituímos o comprimento contraído L na expressão do tempo.

Passo 3

Montando a equação que relaciona os dados com a velocidade:
Usando L = L_0\sqrt{1-v^2/c^2} e t = L/v, obtemos
v t = L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.
Para facilitar a álgebra, definimos \beta = \dfrac{v}{c}. Então v = \beta c e a equação vira
\beta c\, t = L_0\sqrt{1-\beta^2}.
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
\beta^2 c^2 t^2 = L_0^2(1-\beta^2).
Agrupando termos com \beta^2:
\beta^2\bigl(c^2 t^2 + L_0^2\bigr) = L_0^2.
Logo
\beta^2 = \frac{L_0^2}{L_0^2 + c^2 t^2} \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{c^2 t^2}{L_0^2}}}.
Essa fórmula é intuitiva: quando c t é pequeno comparado a L_0 então \beta fica perto de 1, mas sempre menor que 1.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos (fazendo as contas passo a passo, sem pular):
  • Tomamos c = 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Calculamos c t:
c t = \bigl(3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\bigr)\bigl(7{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{s}\bigr) = 3{,}0\times7{,}5\times10^{8-7}\\ \mathrm{m} = 22{,}5\times10^{1}\\ \mathrm{m} = 225\\ \mathrm{m}.
  • Agora a razão \dfrac{c^2 t^2}{L_0^2} é igual a \left(\dfrac{c t}{L_0}\right)^2. Calculamos:
\frac{c t}{L_0}=\frac{225\\ \mathrm{m}}{250\\ \mathrm{m}}=0{,}90,
logo
\left(\frac{c t}{L_0}\right)^2 = 0{,}90^2 = 0{,}81.
  • Portanto
\beta = \frac{1}{\sqrt{1 + 0{,}81}} = \frac{1}{\sqrt{1{,}81}}.
  • Calculando numericamente:
\sqrt{1{,}81}\approx 1{,}345\quad\Rightarrow\quad \beta \approx \frac{1}{1{,}345}\approx 0{,}743.
Assim v = \beta c \approx 0{,}743\,c, que com duas casas corresponde a 0{,}74\,c.

Passo 5

Verificação rápida e interpretação:
  • O valor obtido é menor que c, então é fisicamente aceitável (a alternativa (e) com 1{,}20\,c seria impossível).
  • Entre as opções dadas, a que mais se aproxima é a letra c), 0{,}74\,c.
  • Intuitivamente: o tempo extremamente curto exige uma velocidade relativística elevada; o comprimento próprio de 250\\ \mathrm{m} é visto contraído pelo observador, permitindo que em 7{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{s} o trem todo passe por um ponto.

Resposta

c) 0{,}74\,c