Um trem composto possui duas engrenagens solidárias no mesmo eixo intermediário.
A engrenagem A (motora) tem 15 dentes e engrena com B, de 45 dentes. No mesmo eixo de B está a engrenagem C com 20 dentes, que engrena com D , de 60 dentes.
a) Determine a relação de transmissão total
b) Sabendo que a engrenagem A gira a 900 rpm, calcule a rotação de D.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Engrenagem A (motora): Z_A=15 dentes.
  • Engrenagem B: Z_B=45 dentes).
  • Engrenagem C (no mesmo eixo de B): Z_C=20 dentes.
  • Engrenagem D: Z_D=60 dentes.
  • A engrena com B; B e C são solidárias (mesmo eixo, mesma rotação); C engrena com D.
  • Rotação dada: n_A=900\\ \text{rpm} (apenas para a letra b).
O enunciado pede:
(a) Determinar a relação de transmissão total entre A e D.
(b) Calcular a rotação de D sabendo n_A=900\\ \text{rpm}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): quando duas engrenagens engrenam, os dentes que se tocam têm a mesma velocidade linear na linha de contato. Se as engrenagens têm o mesmo passo/module, o número de dentes é proporcional ao raio, então vale a relação entre rotações:
n_1 Z_1 = n_2 Z_2,
onde:
  • n_1 é a rotação (em rpm) da engrenagem 1,
  • Z_1 é o número de dentes da engrenagem 1,
  • n_2 e Z_2 são os respectivos para a engrenagem 2.
Dessa relação isolamos a rotação da engrenagem 2:
n_2 = n_1\cdot\frac{Z_1}{Z_2}.
Observação sobre direção: cada par de engrenagens em contato inverte o sentido de rotação. Como temos dois encontros (A–B e C–D) e B e C estão solidárias, há duas inversões, o que resulta em sentido final igual ao sentido de A (par de inversões = mesmo sentido).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao par A–B:
n_B = n_A\cdot\frac{Z_A}{Z_B}.
Substituindo os dentes:
n_B = n_A\cdot\frac{15}{45} = n_A\cdot\frac{1}{3}.

Passo 4

Como B e C são solidárias (mesmo eixo), suas rotações são iguais:
n_C = n_B = n_A\cdot\frac{1}{3}.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao par C–D:
n_D = n_C\cdot\frac{Z_C}{Z_D}.
Substituindo:
n_D = n_C\cdot\frac{20}{60} = n_C\cdot\frac{1}{3}.

Passo 6

Agora combinamos n_C com a expressão de n_D:
n_D = \left(n_A\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{3} = n_A\cdot\frac{1}{9}.
Isso dá a relação de transmissão total entre A e D. Em termos gerais a relação pode ser escrita como
\frac{n_D}{n_A}=\frac{1}{9}.

Passo 7

Interpretação prática: \dfrac{n_D}{n_A}=\dfrac{1}{9} significa que a velocidade angular de D é 1/9 da de A — é uma redução de 9:1. Sobre o sentido de rotação: há duas engrenagens em contato (duas inversões), então D gira no mesmo sentido que A.

Passo 8

Cálculo numérico pedido na letra (b). Substituindo n_A=900\\ \text{rpm} na expressão n_D=n_A\cdot\dfrac{1}{9}:
n_D = 900\cdot\frac{1}{9} = 100\\ \text{rpm}.

Resposta

(a) \dfrac{n_D}{n_A}=\dfrac{1}{9} (redução 9{:}1).
(b) n_D=100\\ \text{rpm}.

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