Um trem de engrenagens simples é formado por três rodas: engrenagem 1 (motora) com 16 dentes, engrenagem intermediária 2 com 40 dentes e engrenagem 3 (movida) com 80 dentes.
a) Determine a relação de transmissão total entre 1 e 3 .
b) Verifique se a engrenagem intermediária altera ou não a relação de transmissão e explique sua função.
c) Se 1 gira a 1.200 rpm no sentido horário, determine o sentido de rotação de 3 e sua velocidade de rotação em rpm.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Engrenagem 1 (motora): \,Z_1=16 dentes.
    • Engrenagem intermediária 2: \,Z_2=40 dentes.
    • Engrenagem 3 (movida): \,Z_3=80 dentes.
    • Velocidade da engrenagem 1: \,n_1=1200\\ \text{rpm} no sentido horário.
  • O que é pedido:
    a) Determinar a relação de transmissão total entre 1 e 3.
    b) Verificar se a engrenagem intermediária altera ou não a relação de transmissão e explicar sua função.
    c) Se \,1 gira a \,1200\\ \text{rpm} horário, determinar o sentido de rotação de \,3 e sua velocidade em rpm.

Passo 2

Conceito essencial (aulas rápidas e concretas):
  • Quando duas engrenagens se tocam, os seus pontos de contato têm a mesma velocidade linear tangencial. Chamando de r o raio do círculo primitivo (pitch circle) e de \omega a velocidade angular, a igualdade é
r_1\,\omega_1 = r_2\,\omega_2.
  • O raio do círculo primitivo é proporcional ao número de dentes: \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{Z_1}{Z_2}. Portanto substituindo na igualdade acima obtemos a relação entre velocidades angulares (ou de rotação):
\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{Z_2}{Z_1}.
  • Em termos de rotações por minuto (rpm) podemos escrever a mesma relação usando n (porque n é proporcional a \omega):
\frac{n_1}{n_2}=\frac{Z_2}{Z_1}.
Isto é fundamental: mais dentes ⇒ roda maior ⇒ gira mais devagar quando acoplada a uma menor.

Passo 3

Aplicando ao par 1–2:
  • Usando \dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{Z_2}{Z_1}, temos
\frac{n_1}{n_2}=\frac{Z_2}{Z_1}=\frac{40}{16}=\frac{5}{2}=2,5.
  • Interpretação: a engrenagem 1 gira 2{,}5 vezes a mais que a engrenagem 2, ou seja n_2=\dfrac{n_1}{2{,}5}.

Passo 4

Aplicando ao par 2–3:
  • Novamente \dfrac{n_2}{n_3}=\dfrac{Z_3}{Z_2}, logo
\frac{n_2}{n_3}=\frac{80}{40}=2.
  • Interpretação: a engrenagem 2 gira o dobro da engrenagem 3, ou seja n_3=\dfrac{n_2}{2}.

Passo 5

Relação de transmissão total 1–3 (passo a passo):
  • A relação total em termos de rotações é o produto das relações par-a-par:
\frac{n_1}{n_3}=\frac{n_1}{n_2}\cdot\frac{n_2}{n_3}=\frac{Z_2}{Z_1}\cdot\frac{Z_3}{Z_2}.
  • Note que \,Z_2 cancela:
\frac{n_1}{n_3}=\frac{Z_3}{Z_1}.
  • Substituindo os valores dados:
\frac{n_1}{n_3}=\frac{80}{16}=5.
  • Interpretação: \,n_3=\dfrac{n_1}{5}. Em notação usual de redução, é uma redução de 5{:}1 (ou relação \,i_{1/3}=5 quando se define i_{1/3}=\dfrac{n_1}{n_3}).

Passo 6

Resposta à parte (b) — efeito da engrenagem intermediária (explicação didática):
  • Álgebra mostra que o número de dentes da engrenagem intermediária \,Z_2 cancela quando se calcula a relação total entre 1 e 3. Portanto a engrenagem intermediária NÃO altera a relação de transmissão total entre 1 e 3: a razão depende apenas de \,Z_1 e \,Z_3.
  • Funções práticas da engrenagem intermediária (o que ela faz na prática):
    • Permitir que dois eixos que não estão lado a lado se acoplem (ajusta o espaçamento e a geometria do trem).
    • Possibilitar que um eixo de saída tenha posição diferente da linha entre motor e saída (flexibilidade de projeto).
    • Alterar a direção relativa de rotação dependendo do número de engrenagens: cada par que engrena inverte o sentido; com uma engrenagem intermediária isolada (dois engates no total) o sentido final fica igual ao inicial (duas inversões). Com número ímpar total de engates o sentido final fica invertido. Assim o intermediário pode ser usado para controlar a direção quando necessário.
    • Obs.: embora não altere a relação numérica, a presença de um intermédio pode afetar torque transmitido via perdas e rigidez, mas isso é tema além do básico.

Passo 7

Cálculo numérico da velocidade e sentido de rotação de 3 (parte c):
  • Velocidade: usando \,n_3=\dfrac{n_1}{5} e \,n_1=1200\\ \text{rpm},
n_3=\frac{1200}{5}=240\\ \text{rpm}.
  • Sentido de rotação: cada contato entre duas engrenagens inverte o sentido. Aqui existem dois contatos ( 1\!-\!2 e 2\!-\!3), logo há duas inversões. Duas inversões deixam o sentido igual ao original. Portanto, se 1 gira no sentido horário, a engrenagem 3 também gira no sentido horário.

Passo 8

Resumo final — o que levar para a prova (passo prático rápido):
  • Para encontrar a relação entre duas engrenagens não-adjacentes, multiplica-se as razões par-a-par; dentes das engrenagens intermediárias normalmente se cancelam.
  • Lembre-se: cada engate inverte sentido; conte quantos engates existem para saber se o sentido final é igual ou invertido.
  • Na prova, faça as contas em frações (cancelações) antes de dividir; melhora a clareza e evita erro de cálculo.

Resposta

a) \dfrac{n_1}{n_3}=5 (redução 5{:}1, ou seja \,n_3=\dfrac{n_1}{5}).
b) Não; a engrenagem intermediária não altera a relação de transmissão total (o termo \,Z_2 cancela). Sua função é permitir o acoplamento espacial/geométrico entre eixos e controlar a direção relativa (cada engate inverte o sentido).
c) Sentido: horário. Velocidade: \,n_3=240\\ \text{rpm}.

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