Um trem de engrenagens simples é formado por três rodas: engrenagem 1 (motora) com 16 dentes, engrenagem intermediária 2 com 40 dentes e engrenagem 3 (movida) com 80 dentes.
a) Determine a relação de transmissão total entre 1 e 3 .
b) Verifique se a engrenagem intermediária altera ou não a relação de transmissão e explique sua função.
c) Se 1 gira a 1.200 rpm no sentido horário, determine o sentido de rotação de 3 e sua velocidade de rotação em rpm.
a) Determine a relação de transmissão total entre 1 e 3 .
b) Verifique se a engrenagem intermediária altera ou não a relação de transmissão e explique sua função.
c) Se 1 gira a 1.200 rpm no sentido horário, determine o sentido de rotação de 3 e sua velocidade de rotação em rpm.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
-
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Engrenagem 1 (motora):
dentes. - Engrenagem intermediária 2:
dentes. - Engrenagem 3 (movida):
dentes. - Velocidade da engrenagem 1:
no sentido horário.
- Engrenagem 1 (motora):
-
O que é pedido:
a) Determinar a relação de transmissão total entre 1 e 3.
b) Verificar se a engrenagem intermediária altera ou não a relação de transmissão e explicar sua função.
c) Segira a horário, determinar o sentido de rotação de e sua velocidade em rpm.
Passo 2
Conceito essencial (aulas rápidas e concretas):
- Quando duas engrenagens se tocam, os seus pontos de contato têm a mesma velocidade linear tangencial. Chamando de
o raio do círculo primitivo (pitch circle) e de a velocidade angular, a igualdade é
- O raio do círculo primitivo é proporcional ao número de dentes:
. Portanto substituindo na igualdade acima obtemos a relação entre velocidades angulares (ou de rotação):
- Em termos de rotações por minuto (rpm) podemos escrever a mesma relação usando
(porque é proporcional a ):
Isto é fundamental: mais dentes ⇒ roda maior ⇒ gira mais devagar quando acoplada a uma menor.
Passo 3
Aplicando ao par 1–2:
- Usando
, temos
- Interpretação: a engrenagem 1 gira
vezes a mais que a engrenagem 2, ou seja .
Passo 4
Aplicando ao par 2–3:
- Novamente
, logo
- Interpretação: a engrenagem 2 gira o dobro da engrenagem 3, ou seja
.
Passo 5
Relação de transmissão total 1–3 (passo a passo):
- A relação total em termos de rotações é o produto das relações par-a-par:
- Note que
cancela:
- Substituindo os valores dados:
- Interpretação:
. Em notação usual de redução, é uma redução de (ou relação quando se define ).
Passo 6
Resposta à parte (b) — efeito da engrenagem intermediária (explicação didática):
- Álgebra mostra que o número de dentes da engrenagem intermediária
cancela quando se calcula a relação total entre 1 e 3. Portanto a engrenagem intermediária NÃO altera a relação de transmissão total entre 1 e 3: a razão depende apenas de e . - Funções práticas da engrenagem intermediária (o que ela faz na prática):
- Permitir que dois eixos que não estão lado a lado se acoplem (ajusta o espaçamento e a geometria do trem).
- Possibilitar que um eixo de saída tenha posição diferente da linha entre motor e saída (flexibilidade de projeto).
- Alterar a direção relativa de rotação dependendo do número de engrenagens: cada par que engrena inverte o sentido; com uma engrenagem intermediária isolada (dois engates no total) o sentido final fica igual ao inicial (duas inversões). Com número ímpar total de engates o sentido final fica invertido. Assim o intermediário pode ser usado para controlar a direção quando necessário.
- Obs.: embora não altere a relação numérica, a presença de um intermédio pode afetar torque transmitido via perdas e rigidez, mas isso é tema além do básico.
Passo 7
Cálculo numérico da velocidade e sentido de rotação de 3 (parte c):
- Velocidade: usando
e ,
- Sentido de rotação: cada contato entre duas engrenagens inverte o sentido. Aqui existem dois contatos (
e ), logo há duas inversões. Duas inversões deixam o sentido igual ao original. Portanto, se gira no sentido horário, a engrenagem também gira no sentido horário.
Passo 8
Resumo final — o que levar para a prova (passo prático rápido):
- Para encontrar a relação entre duas engrenagens não-adjacentes, multiplica-se as razões par-a-par; dentes das engrenagens intermediárias normalmente se cancelam.
- Lembre-se: cada engate inverte sentido; conte quantos engates existem para saber se o sentido final é igual ou invertido.
- Na prova, faça as contas em frações (cancelações) antes de dividir; melhora a clareza e evita erro de cálculo.
Resposta
a)
(redução
, ou seja
).
b) Não; a engrenagem intermediária não altera a relação de transmissão total (o termo cancela). Sua função é permitir o acoplamento espacial/geométrico entre eixos e controlar a direção relativa (cada engate inverte o sentido).
c) Sentido: horário. Velocidade: .
b) Não; a engrenagem intermediária não altera a relação de transmissão total (o termo
c) Sentido: horário. Velocidade: