Uma trena de aço que tem comprimento de 30 m a
será usada para locar uma área projetada com dimensão de
por
.
Determine qual deve ser a medida feita em quando a temperatura ambiente for de
, para que a distância real medida no terreno corresponda às dimensões do projeto.
Determine qual deve ser a medida feita em quando a temperatura ambiente for de
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem a seguir é informação do problema):
- A trena de aço tem comprimento nominal de
quando a temperatura é . - As dimensões do projeto (distâncias reais que se quer obter no terreno) são
e . - A medição no terreno será feita a
.
O que se pede: determinar qual deve ser a medida (isto é, qual leitura nominal na trena, em metros) que se deve marcar/usar quando a temperatura for, de modo que a distância real no terreno corresponda exatamente às dimensões do projeto.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando bem devagar):
- Materiais sofrem dilatação/contração linear com a temperatura. Para um comprimento inicial calibrado a uma temperatura de referência, o comprimento real a outra temperatura é dado pela fórmula da dilatação linear:
Expliquei cada símbolo:
-
é o comprimento nominal/calibrado (no nosso caso, uma leitura da trena que corresponde a esse valor quando a trena está à temperatura de referência). -
é o comprimento físico real da fita à nova temperatura. -
é o coeficiente de dilatação linear do material (para o aço típico usamos ; esse é um valor usual para aço — estou assumindo esse valor porque o enunciado não deu ). -
é a variação de temperatura, isto é, .
Comentário prático: a trena foi calibrada para
(referência). Se a trena estiver mais fria (
), ela vai encolher; portanto uma leitura nominal de, por exemplo,
na fita não corresponderá fisicamente a
no terreno — será um pouco menor.
Passo 3
Relacionando a leitura da trena com a distância real que ela cobre:
- Seja
a leitura nominal que se marca/usa na trena (por exemplo, ou — a leitura que se lê na fita, calibrada a ). - Quando a fita estiver à temperatura
(aqui ), o comprimento físico real correspondente a essa leitura será
- Para que esse comprimento físico seja precisamente a dimensão do projeto
, devemos ter
- Portanto a leitura nominal que devemos marcar/usar na trena (quando a trena está a
) é obtida isolando :
Passo 4
Aplicando ao caso concreto (
,
) e adotando
:
- Calcular
:
- Com
,
logo
Esse número é o fator pelo qual a leitura nominal é multiplicada para obter o comprimento físico real à temperatura de
. Como ele é menor que 1, a fita encolheu.
Passo 5
Cálculo para a primeira dimensão
:
Agora a conta (passo a passo para fazer sem calculadora: dividir por número próximo de 1 é equivalente a multiplicar por
aproximadamente; aqui detalho o cálculo numérico):
Multiplicando:
Passo 6
Cálculo para a segunda dimensão
:
Usando o mesmo fator:
Passo 7
Interpretação e observação prática (ânimo: é só uma correção muito pequena):
- Como a fita encolheu ao esfriar, para obter no terreno a distância real desejada é preciso marcar/usar na trena um valor nominal ligeiramente MAIOR do que a dimensão do projeto.
- As correções aqui são bem pequenas: da ordem de alguns centímetros em centenas de metros. Isso mostra que em medição de campo, para precisão é importante levar em conta a temperatura da fita, mas o ajuste é pequeno.