Uma trena de aço que tem comprimento de 30 m a 20^{\circ} \mathrm{C} será usada para locar uma área projetada com dimensão de 100,58 \mathrm{~m} por 207,87 \mathrm{~m}.
Determine qual deve ser a medida feita em quando a temperatura ambiente for de 0^{\circ} \mathrm{C}, para que a distância real medida no terreno corresponda às dimensões do projeto.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem a seguir é informação do problema):
  • A trena de aço tem comprimento nominal de \,30\\ \mathrm{m}\, quando a temperatura é \,20^\circ\mathrm{C}\,.
  • As dimensões do projeto (distâncias reais que se quer obter no terreno) são \,100,58\\ \mathrm{m}\, e \,207,87\\ \mathrm{m}\,.
  • A medição no terreno será feita a \,0^\circ\mathrm{C}\,.
    O que se pede: determinar qual deve ser a medida (isto é, qual leitura nominal na trena, em metros) que se deve marcar/usar quando a temperatura for \,0^\circ\mathrm{C}\,, de modo que a distância real no terreno corresponda exatamente às dimensões do projeto.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando bem devagar):
  • Materiais sofrem dilatação/contração linear com a temperatura. Para um comprimento inicial calibrado a uma temperatura de referência, o comprimento real a outra temperatura é dado pela fórmula da dilatação linear:
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr).
Expliquei cada símbolo:
  • L_0 é o comprimento nominal/calibrado (no nosso caso, uma leitura da trena que corresponde a esse valor quando a trena está à temperatura de referência).
  • L é o comprimento físico real da fita à nova temperatura.
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (para o aço típico usamos \alpha = 11\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}; esse é um valor usual para aço — estou assumindo esse valor porque o enunciado não deu \alpha).
  • \Delta T é a variação de temperatura, isto é, \Delta T = T - T_{\text{ref}}.
Comentário prático: a trena foi calibrada para \,20^\circ\mathrm{C}\, (referência). Se a trena estiver mais fria ( 0^\circ\mathrm{C}), ela vai encolher; portanto uma leitura nominal de, por exemplo, \,1{,}000\\ \mathrm{m}\, na fita não corresponderá fisicamente a \,1{,}000\\ \mathrm{m}\, no terreno — será um pouco menor.

Passo 3

Relacionando a leitura da trena com a distância real que ela cobre:
  • Seja s a leitura nominal que se marca/usa na trena (por exemplo, \,100{,}58\\ \mathrm{m}\, ou \,207{,}87\\ \mathrm{m}\, — a leitura que se lê na fita, calibrada a 20^\circ\mathrm{C}).
  • Quando a fita estiver à temperatura T (aqui T=0^\circ\mathrm{C}), o comprimento físico real correspondente a essa leitura será
L_{\text{real}} = s\bigl(1 + \alpha (T - 20^\circ\mathrm{C})\bigr).
  • Para que esse comprimento físico seja precisamente a dimensão do projeto D, devemos ter
s\bigl(1 + \alpha (T - 20^\circ\mathrm{C})\bigr) = D.
  • Portanto a leitura nominal que devemos marcar/usar na trena (quando a trena está a T) é obtida isolando s:
s = \frac{D}{1 + \alpha (T - 20^\circ\mathrm{C})}.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto ( T=0^\circ\mathrm{C}, \Delta T = -20^\circ\mathrm{C}) e adotando \alpha = 11\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
  • Calcular 1 + \alpha (T - 20^\circ\mathrm{C}):
1 + \alpha (0 - 20) = 1 - 20\alpha.
  • Com \alpha = 11\times 10^{-6},
20\alpha = 20 \times 11\times 10^{-6} = 220\times 10^{-6} = 0{,}00022,
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1 - 20\alpha = 1 - 0{,}00022 = 0{,}99978.
Esse número é o fator pelo qual a leitura nominal é multiplicada para obter o comprimento físico real à temperatura de \,0^\circ\mathrm{C}\,. Como ele é menor que 1, a fita encolheu.

Passo 5

Cálculo para a primeira dimensão D_1= \,100,58\\ \mathrm{m}\,:
s_1 = \frac{D_1}{1 - 20\alpha} = \frac{100,58}{0{,}99978}.
Agora a conta (passo a passo para fazer sem calculadora: dividir por número próximo de 1 é equivalente a multiplicar por 1 + 0{,}00022 aproximadamente; aqui detalho o cálculo numérico):
\frac{1}{0{,}99978}\approx 1{,}0002200484\quad\Rightarrow\quad s_1 \approx 100,58\times 1{,}0002200484.
Multiplicando:
s_1 \approx 100,602127\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo para a segunda dimensão D_2= \,207,87\\ \mathrm{m}\,:
s_2 = \frac{D_2}{1 - 20\alpha} = \frac{207,87}{0{,}99978}.
Usando o mesmo fator:
s_2 \approx 207,87\times 1{,}0002200484 \approx 207,915731\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e observação prática (ânimo: é só uma correção muito pequena):
  • Como a fita encolheu ao esfriar, para obter no terreno a distância real desejada é preciso marcar/usar na trena um valor nominal ligeiramente MAIOR do que a dimensão do projeto.
  • As correções aqui são bem pequenas: da ordem de alguns centímetros em centenas de metros. Isso mostra que em medição de campo, para precisão é importante levar em conta a temperatura da fita, mas o ajuste é pequeno.

Resposta

\,100,602\\ \mathrm{m}
\,207,916\\ \mathrm{m}