Três alunos estão tentando independentemente resolver um problema. A probabilidade de que o aluno A resolva o problema é de 4/5, de B resolver é de
e de C resolver é de
. Seja X o número de soluções corretas apresentadas para este problema.
a) Esquematize as expressões para construir a distribuição de probabilidades de X.
b) Com base nas expressões da letra a, construa a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476;
b) Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630)
c) Alguém chamou o valor esperado de
como valor mais provável. Você concorda com esta afirmação? JUSTIFIQUE.
a) Esquematize as expressões para construir a distribuição de probabilidades de X.
b) Com base nas expressões da letra a, construa a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476;
b) Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630)
c) Alguém chamou o valor esperado de
Passo 1
O problema dá três alunos independentes A, B e C com probabilidades de sucesso
,
e
. Queremos a distribuição de
, o número de soluções corretas, além de calcular esperança, variância e comparar esperança com a moda.
Passo 2
Para montar a distribuição de probabilidades de
usamos que cada aluno é uma Bernoulli independente. Chamando
,
e
, temos as expressões:
Passo 3
Substituindo
,
;
,
;
,
e calculando numericamente:
Passo 4
Para a esperança usamos
.
Para a variância, por independência,
Para a variância, por independência,
Passo 5
A moda de
é o valor de
que maximiza
, aqui
(
). Como
não é igual à moda, não concordamos que o valor esperado seja o valor mais provável.
Resposta
a) P(X=0)=q_A q_B q_C; P(X=1)=p_A q_B q_C + q_A p_B q_C + q_A q_B p_C; P(X=2)=p_A p_B q_C + p_A q_B p_C + q_A p_B p_C; P(X=3)=p_A p_B p_C
b) P(0)=0,038; P(1)=0,257; P(2)=0,476; P(3)=0,228
c) E(X)=199/105≈1,895; V(X)=6914/11025≈0,627
d) Não, a esperança não coincide com o valor mais provável (moda=2).
b) P(0)=0,038; P(1)=0,257; P(2)=0,476; P(3)=0,228
c) E(X)=199/105≈1,895; V(X)=6914/11025≈0,627
d) Não, a esperança não coincide com o valor mais provável (moda=2).