Três alunos estão tentando independentemente resolver um problema. A probabilidade de que o aluno A resolva o problema é de 4/5, de B resolver é de 2 / 3 e de C resolver é de 3 / 7. Seja X o número de soluções corretas apresentadas para este problema.
a) Esquematize as expressões para construir a distribuição de probabilidades de X.
b) Com base nas expressões da letra a, construa a distribuição de probabilidades de X. (R.: 0,038; 0,257; 0,476; 0,228)
b) Calcule E(X) e V(X). (R.: 1,893; 0,630)
c) Alguém chamou o valor esperado de X como valor mais provável. Você concorda com esta afirmação? JUSTIFIQUE.

Passo 1

O problema dá três alunos independentes A, B e C com probabilidades de sucesso pA=4/5, pB=2/3 e pC=3/7. Queremos a distribuição de X, o número de soluções corretas, além de calcular esperança, variância e comparar esperança com a moda.

Passo 2

Para montar a distribuição de probabilidades de X usamos que cada aluno é uma Bernoulli independente. Chamando qA=1-pA, qB=1-pB e qC=1-pC, temos as expressões:
P(X=0)=qA,qB,qC
P(X=1)=pA,qB,qC;+ ;qA,pB,qC;+ ;qA,qB,pC
P(X=2)=pA,pB,qC;+ ;pA,qB,pC;+ ;qA,pB,pC
P(X=3)=pA,pB,pC

Passo 3

Substituindo pA=4/5, qA=1/5; pB=2/3, qB=1/3; pC=3/7, qC=4/7 e calculando numericamente:
P(0)=0,2times0,3333times0,5714approx0,038
P(1),approx0,257 P(2),approx0,476 P(3),approx0,228

Passo 4

Para a esperança usamos E(X)=pA+pB+pC=tfrac45+tfrac23+tfrac37=tfrac199105approx1,895.
Para a variância, por independência,
V(X)=pAqA+pBqB+pCqC=tfrac425+tfrac29+tfrac1249=tfrac691411025approx0,627

Passo 5

A moda de X é o valor de k que maximiza P(X=k), aqui k=2 ( P(2)approx0,476). Como E(X)approx1,895 não é igual à moda, não concordamos que o valor esperado seja o valor mais provável.

Resposta

a) P(X=0)=q_A q_B q_C; P(X=1)=p_A q_B q_C + q_A p_B q_C + q_A q_B p_C; P(X=2)=p_A p_B q_C + p_A q_B p_C + q_A p_B p_C; P(X=3)=p_A p_B p_C
b) P(0)=0,038; P(1)=0,257; P(2)=0,476; P(3)=0,228
c) E(X)=199/105≈1,895; V(X)=6914/11025≈0,627
d) Não, a esperança não coincide com o valor mais provável (moda=2).

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