Três amostras foram enviadas ao laboratório para análise. O analista realizou 5 determinações em cada uma delas e encontrou os seguintes resultados:
Amostras \mathrm{A}\left(\mathrm{g} . \mathrm{L}^{-1}\right) \mathrm{B}\left(\mathrm{g} . \mathrm{L}^{-1}\right) \mathrm{C}\left(\mathrm{g} . \mathrm{L}^{-1}\right)
Determinações 6,1 6,3 6,2 6,5 5,9 36,5 37,3 36,9 38,4
a) Calcule a média e o desvio-padrão de cada amostra
b) Calcule o coeficiente de variança para cada amostra
c) Comente o uso do desvio-padrão e o coeficiente de variança como medida de precisão de um método analítico

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas:
  1. Calcular a média e o desvio-padrão de cada amostra (a).
  2. Calcular o coeficiente de variação de cada amostra (b).
  3. Comentar o uso do desvio-padrão e do coeficiente de variação como medida de precisão (c).
Dados que eu consegui ler na tabela (estou dizendo explicitamente de onde tirei cada número): da linha “Determinações” eu identifiquei os seguintes valores em sequência:
\;6,1,\;6,3,\;6,2,\;6,5,\;5,9,\;36,5,\;37,3,\;36,9,\;38,4.
Observação importante (ambiguidade / falta de dados): o enunciado diz que foram feitas 5 determinações em cada amostra (3 amostras), logo deveríamos ter 15 valores no total, distribuídos em 5 para cada uma. A tabela que você me mandou contém apenas 9 números e não está claro como esses 9 números se distribuem entre as amostras A, B e C (além disso, não há 5 valores por amostra). Portanto não dá para calcular a média e o desvio-padrão de todas as três amostras com segurança — só posso trabalhar com os valores que aparecem de forma evidente e contínua na tabela.
Decisão que tomei para prosseguir: vou usar os primeiros cinco números ( 6,1;\;6,3;\;6,2;\;6,5;\;5,9) que aparecem juntos e claramente como um conjunto consistente (parecem ser as 5 determinações de uma amostra, muito provavelmente a amostra A), e calcular passo a passo média, desvio-padrão amostral e coeficiente de variação para esse conjunto. Para as outras amostras (os valores ao redor de 36) falta ao menos um dado e/ou a separação por amostra, então explicarei o que falta e como proceder. Se você quiser que eu calcule também para os números em torno de 36 assumindo um agrupamento, eu posso fazê-lo, mas não vou inventar números.

Passo 2

Mini-aula: fórmulas e interpretação (muito didática, para você fazer na prova sem pânico)
  • Média aritmética (média simples): se temos n valores x_1,x_2,\dots,x_n, a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x} é o valor médio, n é o número de determinações e x_i são os resultados individuais.
  • Desvio-padrão amostral (estimador não viciado da variabilidade): quando você tem uma amostra de tamanho n e quer estimar a variabilidade da população, usa-se
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Explicação das partes: x_i-\bar{x} é o desvio de cada medida em relação à média; elevamos ao quadrado para penalizar desvios positivos e negativos igualmente; somamos todos e dividimos por n-1 (não por n) para corrigir o viés da estimativa da variância quando usamos uma amostra — isso é a correção de Bessel; por fim tiramos raiz quadrada para voltar à unidade original dos dados.
  • Coeficiente de variação (CV): mede a variabilidade relativa (útil quando queremos comparar precisão entre métodos com médias muito diferentes). É definido por
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Interpretação: CV baixo → resultados mais precisos relativamente à magnitude do valor; CV alto → menos preciso.
Observação prática para prova: sempre deixar as contas bem mostradas — calcule soma, média, desvios, quadrados, soma dos quadrados, dividir por n-1, raiz quadrada. Assim o corretor vê que você sabe o procedimento.

Passo 3

Cálculo passo a passo para a amostra que eu identifiquei como tendo 5 valores (retirei esses valores explicitamente da tabela):
os dados são
x_1=6,1,\quad x_2=6,3,\quad x_3=6,2,\quad x_4=6,5,\quad x_5=5,9.
  1. Soma e média:
\sum_{i=1}^{5} x_i = 6,1+6,3+6,2+6,5+5,9 = 31,0.
\bar{x}=\frac{31,0}{5}=6,2.
Portanto a média é \bar{x}=6,2.
  1. Calcular os desvios x_i-\bar{x} e seus quadrados:
\begin{aligned} x_1-\bar{x}&=6,1-6,2=-0,1,& (x_1-\bar{x})^2&=0,01,\\\ x_2-\bar{x}&=6,3-6,2=+0,1,& (x_2-\bar{x})^2&=0,01,\\\ x_3-\bar{x}&=6,2-6,2=0,0,& (x_3-\bar{x})^2&=0,00,\\\ x_4-\bar{x}&=6,5-6,2=+0,3,& (x_4-\bar{x})^2&=0,09,\\\ x_5-\bar{x}&=5,9-6,2=-0,3,& (x_5-\bar{x})^2&=0,09. \end{aligned}
  1. Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2 = 0,01+0,01+0,00+0,09+0,09 = 0,20.
  1. Variância amostral e desvio-padrão amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{0,20}{5-1}=\frac{0,20}{4}=0,05.
s=\sqrt{0,05}\approx 0,2236\;\Rightarrow\; s\approx 0,224.
(Arredondei para três casas decimais — na prova pode usar duas ou três conforme instrução.)
  1. Coeficiente de variação:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%=\frac{0,2236}{6,2}\times100\%\approx 3,61\%.
Resumo numérico (para o conjunto que eu identifiquei na tabela):
  • Média \bar{x}=6,2.
  • Desvio-padrão amostral s\approx 0,224.
  • Coeficiente de variação \text{CV}\approx 3,61\%.

Passo 4

Por que eu não calculei para B e C (completa e seguramente)?
  • Na tabela restante há quatro números em torno de 36: \;36,5,\;37,3,\;36,9,\;38,4. Faltam mais valores para chegar a 5 determinações por amostra, e não está claro se esses quatro pertencem todos à mesma amostra (B ou C) ou se estão divididos entre B e C. Como a questão afirma explicitamente “5 determinações em cada uma”, precisamos de 5 valores por amostra para responder corretamente. Inventar o número que falta ou supor uma distribuição seria arriscado; então eu não os agrupei nem calculei estatísticas para B e C.
O que você deve entregar na prova (se tiver os dados corretos): para cada amostra A, B, C faça exatamente o que fiz no Passo 3: calcule \bar{x}, calcule os x_i-\bar{x}, eleve ao quadrado, some, divida por n-1 para obter s^2, tire raiz para s e calcule \text{CV}=s/\bar{x}\times100\%. Se na correção eles esperam desvio-padrão populacional (dividir por n em vez de n-1) normalmente isso é especificado; em análises de precisão de métodos analíticos o uso de s amostral (divisão por n-1) é padrão para estimar a variabilidade.

Passo 5

  • O desvio-padrão s mede a dispersão absoluta dos resultados na mesma unidade das medidas. É ótimo para saber “quanto, em média, os resultados individuais se desviam da média” em unidades do analito (por exemplo, g·L^{-1}). Pontos fortes: é direto, tem interpretação física clara; fraco: depende da magnitude da média (um s=0,2 é muito bom se a média for 6,2, mas irrelevante se a média fosse 0,01).
  • O coeficiente de variação (CV) transforma essa dispersão em uma medida relativa (percentual), dividindo s pela média. Isso permite comparar precisão entre métodos que trabalham com ordens de grandeza diferentes. Por exemplo, um método com s=0,2 e média 6,2 tem CV \approx3,2\% (no nosso cálculo deu \approx3,61\% porque usei arredondamentos), enquanto um método com s=0,2 e média 0,5 tem CV 40\% — muito menos aceitável. Portanto, para comparar precisão de amostras com médias distintas, CV é preferível.
  • Limitações:
    • CV não é recomendado quando a média está perto de zero (pois divide por algo pequeno → CV explode).
    • Desvio-padrão assume distribuição razoavelmente simétrica (normal) para algumas inferências; mas como medida de dispersão é válida independente.
    • Em análises químicas, normalmente se reporta s (ou s/\sqrt{n} para erro padrão da média) e também CV quando se quer comparar precisão relativa.
  • Sugestão prática para prova: sempre indique qual forma de desvio-padrão você usou (amostral com n-1 é o padrão) e calcule CV quando for pedir comparações entre métodos ou amostras com médias diferentes.
Força aí — se você me confirmar a distribuição correta dos números na tabela (ou enviar a tabela completa com os 15 valores), eu calculo rapidinho as médias, desvios e CVs para B e C com o mesmo passo a passo e te deixo tudo prontinho para revisão.

Resposta

(a) Para a amostra cujos 5 valores são \;6,1;\;6,3;\;6,2;\;6,5;\;5,9: média \bar{x}=6,2 e desvio-padrão amostral s\approx0,224.
(a) Para as demais amostras (B e C): não é possível calcular média e desvio-padrão com segurança porque a tabela fornecida está ambígua/incompleta (faltam valores e/ou a separação por amostra).
(b) Coeficiente de variação para a amostra acima: \text{CV}\approx 3,61\%.
(b) CV para B e C: não é possível calcular com os dados fornecidos (ambiguidade/incompletude).
(c) Comentário resumido: o desvio-padrão s mede a dispersão absoluta dos resultados (mesma unidade dos dados) e é a medida básica de precisão; o coeficiente de variação transforma essa dispersão em medida relativa ( \%), sendo útil para comparar precisão entre métodos ou amostras com médias muito diferentes. Contudo, o CV é inadequado quando a média está próxima de zero.

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