• Três cargas pontuais, q_{1}=2,0 \mathrm{nC}, q_{2}=-3,0 \mathrm{nC} e q_{3}=4,0 \mathrm{nC}, estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero com lado de 30 cm . Encontre o módulo e a direção da força elétrica total sobre a carga q_{3}. Considere que q_{1} está na origem, q_{2} no eixo x e q_{3} no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede o módulo e a direção da força elétrica total sobre a carga q_{3}. Dados fornecidos:
q_{1}=2{,}0\\ \mathrm{nC} localizado na origem;
q_{2}=-3{,}0\\ \mathrm{nC} localizado no eixo x;
q_{3}=4{,}0\\ \mathrm{nC} localizado no primeiro quadrante;
o triângulo formado por essas três cargas é equilátero com lado 30\\ \mathrm{cm}.
O que precisamos encontrar explicitamente: o módulo \lVert \mathbf{F}_{\text{total sobre }q_{3}}\rVert e a direção (ângulo) dessa força em relação ao eixo +x.

Passo 2

Primeiro passo prático: padronizar unidades e fixar coordenadas dos vértices do triângulo equilátero. Converto centímetros para metros e nanocoulombs para coulombs:
a=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}, \qquad q_1=2{,}0\\ \mathrm{nC}=2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C},
q_2=-3{,}0\\ \mathrm{nC}=-3{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, \qquad q_3=4{,}0\\ \mathrm{nC}=4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Escolho a posição das cargas conforme o enunciado e a geometria do triângulo equilátero (base no eixo x de x=0 a x=a):
\mathbf{r}_1=(0,0),\qquad \mathbf{r}_2=(a,0),\qquad \mathbf{r}_3=\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a\right).
Substituindo a=0{,}30\\ \mathrm{m}:
\mathbf{r}_2=(0{,}30,\,0)\\ \mathrm{m},\qquad \mathbf{r}_3=(0{,}15,\;0{,}2598076)\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Relembrando a lei que usamos: Lei de Coulomb para a força entre duas cargas pontuais. Em módulo:
F = k\frac{|q q'|}{r^{2}},
onde k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, q e q' são as cargas em coulombs e r é a distância entre elas em metros. A direção da força é ao longo da reta que une as cargas; se as cargas têm o mesmo sinal a força é repulsiva (afasta), se sinais opostos é atrativa (puxa). As distâncias entre q_3 e q_1 e entre q_3 e q_2 são iguais a a porque o triângulo é equilátero:
r_{13}=r_{23}=a=0{,}30\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular os módulos das forças individuais sobre q_3.
Entre q_1 e q_3:
F_{13}=k\frac{|q_1 q_3|}{a^{2}} =8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{(2{,}0\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-9})}{(0{,}30)^{2}}.
Faço as contas passo a passo:
(2{,}0\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-9})=8{,}0\times10^{-18}, \qquad (0{,}30)^{2}=0{,}09.
Logo
F_{13}=8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{8{,}0\times10^{-18}}{0{,}09} =8{,}988\times10^{9}\cdot8{,}888888\ldots\times10^{-17} \approx7{,}99\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
Entre q_2 e q_3:
F_{23}=k\frac{|q_2 q_3|}{a^{2}} =8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{(3{,}0\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-9})}{0{,}09}.
(3{,}0\times10^{-9})(4{,}0\times10^{-9})=12{,}0\times10^{-18},
F_{23}=8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{12{,}0\times10^{-18}}{0{,}09} =8{,}988\times10^{9}\cdot1{,}333333\ldots\times10^{-16} \approx1{,}198\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar as direções (vetores unitários) das forças sobre q_3, usando os vetores de posição conhecidos.
Vetor de q_1 para q_3:
\mathbf{r}_{13}=\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1=(0{,}15,\;0{,}2598076).
Como |\mathbf{r}_{13}|=a=0{,}30, o versor (vetor unitário) nessa direção é
\hat{\mathbf{u}}_{13}=\frac{\mathbf{r}_{13}}{a}=\left(\frac{0{,}15}{0{,}30},\frac{0{,}2598076}{0{,}30}\right)=(0{,}5,\;0{,}8660254).
Interpretação física: q_1 e q_3 são ambas positivas, logo a força de q_1 sobre q_3 é repulsiva — aponta no sentido de \hat{\mathbf{u}}_{13} (do vértice 1 para o vértice 3).
Vetor de q_3 para q_2:
\mathbf{r}_{23}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3=(0{,}15,\;-0{,}2598076),
e o versor nessa direção é
\hat{\mathbf{u}}_{23}=\frac{\mathbf{r}_{23}}{a}=(0{,}5,\;-0{,}8660254).
Interpretação física: q_2 é negativa e q_3 é positiva, então q_3 é atraída por q_2; a força sobre q_3 por q_2 aponta na direção \hat{\mathbf{u}}_{23}.

Passo 6

Calcular as componentes x e y de cada força usando as direções obtidas.
Para F_{13} (repulsiva, na direção \hat{\mathbf{u}}_{13}):
F_{13,x}=F_{13}\cdot 0{,}5,\qquad F_{13,y}=F_{13}\cdot 0{,}8660254.
Substituindo F_{13}\approx7{,}99\times10^{-7}\\ \mathrm{N}:
F_{13,x}\approx7{,}99\times10^{-7}\cdot0{,}5=3{,}995\times10^{-7}\\ \mathrm{N},
F_{13,y}\approx7{,}99\times10^{-7}\cdot0{,}8660254=6{,}92\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
Para F_{23} (atrativa, na direção \hat{\mathbf{u}}_{23}):
F_{23,x}=F_{23}\cdot 0{,}5,\qquad F_{23,y}=F_{23}\cdot(-0{,}8660254).
Substituindo F_{23}\approx1{,}198\times10^{-6}\\ \mathrm{N}:
F_{23,x}\approx1{,}198\times10^{-6}\cdot0{,}5=5{,}99\times10^{-7}\\ \mathrm{N},
F_{23,y}\approx1{,}198\times10^{-6}\cdot(-0{,}8660254)=-1{,}039\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Somar componente a componente para obter a força total \mathbf{F}_{\text{total}}=\mathbf{F}_{13}+\mathbf{F}_{23}.
Componente x:
F_{x}=F_{13,x}+F_{23,x}\approx3{,}995\times10^{-7}+5{,}99\times10^{-7}=9{,}986\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
Componente y:
F_{y}=F_{13,y}+F_{23,y}\approx6{,}92\times10^{-7}+(-1{,}039\times10^{-6})=-3{,}47\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Calcular o módulo e a direção (ângulo) a partir das componentes.
Módulo:
\lVert \mathbf{F}\rVert=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}} =\sqrt{(9{,}986\times10^{-7})^{2}+(-3{,}47\times10^{-7})^{2}}.
\lVert \mathbf{F}\rVert\approx\sqrt{9{,}973\times10^{-13}+1{,}205\times10^{-13}} =\sqrt{1{,}118\times10^{-12}}\approx1{,}057\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\lVert \mathbf{F}\rVert\approx1{,}06\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Direção (ângulo \theta medido a partir do eixo +x, positivo no sentido anti-horário):
\theta=\arctan\!\left(\frac{F_{y}}{F_{x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-3{,}47\times10^{-7}}{9{,}986\times10^{-7}}\right).
\theta\approx\arctan(-0{,}3475)\approx-19{,}15^\circ.
Interpretação: o ângulo negativo indica que a força aponta com inclinação de 19{,}15^\circ abaixo do eixo +x. Arredondando:
\theta\approx-19{,}1^\circ\quad\text{(ou seja, }19{,}1^\circ\text{ abaixo do eixo }+x\text{).}

Resposta

\lVert \mathbf{F}_{\text{total sobre }q_{3}}\rVert = 1{,}06\times10^{-6}\\ \mathrm{N}
\text{Direção: }19{,}1^\circ\\ \text{abaixo do eixo }+xçã

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