Num triângulo A B C sabe-se que: A pertence ao eixo das abscissas; B pertence à bissetriz y=x ; x+y+5=0 é equação da reta over<=ftrightarrowA C ; e 2 x-y-2=0 é equação da reta over<=ftrightarrowB C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo ABC no plano cartesiano com algumas informações específicas:
  • O ponto A está no eixo das abscissas (eixo x);
  • O ponto B está na bissetriz y = x;
  • A reta over<=ftrightarrowAC tem equação x + y + 5 = 0;
  • A reta over<=ftrightarrowBC tem equação 2x - y - 2 = 0.
Vamos usar conceitos de geometria analítica para encontrar as coordenadas dos pontos A, B e C.

Passo 2

Primeiro, como A está no eixo das abscissas, sua coordenada y é zero. Vamos chamar as coordenadas de A de (a, 0), onde a é desconhecido por enquanto.

Passo 3

Sabemos que a reta over<=ftrightarrowAC tem equação x + y + 5 = 0. Como A está nessa reta, substituímos as coordenadas de A na equação:
a + 0 + 5 = 0 a + 5 = 0 a = -5
Então, A = (-5, 0).

Passo 4

Agora, o ponto B está na bissetriz y = x. Então, suas coordenadas são da forma (b, b), já que y é igual a x nessa reta.

Passo 5

A reta over<=ftrightarrowBC tem equação 2x - y - 2 = 0. Como B está nessa reta, substituímos as coordenadas de B na equação:
2b - b - 2 = 0 b - 2 = 0 b = 2
Portanto, B = (2, 2).

Passo 6

Agora, para encontrar o ponto C, sabemos que ele está tanto na reta over<=ftrightarrowAC quanto na reta over<=ftrightarrowBC. Já temos as equações dessas retas:
over<=ftrightarrowAC: x + y + 5 = 0 over<=ftrightarrowBC: 2x - y - 2 = 0
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas de C.

Passo 7

Somando as duas equações para eliminar y:
(x + y + 5) + (2x - y - 2) = 0 + 0 3x + 3 = 0 3x = -3 x = -1
Agora, substituímos x = -1 em uma das equações para encontrar y. Vamos usar a primeira:
-1 + y + 5 = 0 y + 4 = 0 y = -4
Então, C = (-1, -4).

Resposta

As coordenadas dos pontos são:
  • A = (-5, 0);
  • B = (2, 2);
  • C = (-1, -4).

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