2.5-1 Os trilhos de uma ferrovia estão soldados em suas extremidades (para formar trilhos contínuos e, dessa forma, eliminar o ruído de impacto das rodas) quando a temperatura é 10^{\circ} \mathrm{C}.
Qual é o valor da tensão de compressão produzida nos trilhos quando eles são aquecidos pelo sol até 52^{\circ} \mathrm{C}, para o coeficiente de expansão térmica \alpha=12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} e o módulo de clasticidade E=200 \mathrm{GPa} ?
2.5-2 Um tubo de alumínio tem um comprimento de 60 m a uma temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C}. Um tubo de aço adjacente à mesma temperatura é 5 mm mais longo que o tubo de alumínio.
A que temperatura (graus Celsius) o tubo de alumínio será 15 mm mais longo que o tubo de aço? (Assuma que os coeficientes de expansão térmica do alumínio e do aço sejam \alpha_{a}=23 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} e \alpha_{s}=12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente.)

Passo 1

Enunciados e dados importantes (vou separar as duas partes claramente):
Parte 2.5-1 — o que se pede:
  • Pergunta: Qual é a tensão de compressão produzida nos trilhos quando a temperatura sobe de 10^\circ\mathrm{C} para 52^\circ\mathrm{C}?
  • Dados fornecidos:
    \alpha = 12\times 10^{-6}/{^\circ\mathrm{C}} (coeficiente de expansão térmica),
    E = 200\\ \mathrm{GPa} (módulo de elasticidade),
    temperatura inicial T_0 = 10^\circ\mathrm{C},
    temperatura final T = 52^\circ\mathrm{C}.
  • Observação importante: os trilhos estão soldados nas extremidades (impedem expansão livre), logo haverá tensão quando a peça tenta se expandir.
Parte 2.5-2 — o que se pede:
  • Pergunta: A que temperatura (em graus Celsius) o tubo de alumínio será 15\\ \mathrm{mm} mais longo que o tubo de aço?
  • Dados fornecidos:
    comprimento do alumínio à temperatura 10^\circ\mathrm{C}: L_{a0}=60\\ \mathrm{m},
    à mesma temperatura o tubo de aço é 5\\ \mathrm{mm} mais longo que o alumínio (ou seja L_{s0}=L_{a0}+5\\ \mathrm{mm}),
    coeficientes: \alpha_a = 23\times 10^{-6}/{^\circ\mathrm{C}} (alumínio) e \alpha_s = 12\times 10^{-6}/{^\circ\mathrm{C}} (aço),
    temperatura de referência T_0=10^\circ\mathrm{C}.
  • Objetivo: encontrar T tal que L_a(T)-L_s(T)=15\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais — parte teórica que vou usar (bem passo a passo, como na prova).
  1. Dilatação linear (quando o material é livre para expandir):
  • Fórmula: L(T) = L_0\bigl[1 + \alpha (T-T_0)\bigr].
    • Aqui \,L_0 é o comprimento à temperatura de referência T_0;
    • \alpha é o coeficiente de expansão linear (por grau Celsius);
    • T é a nova temperatura;
    • \Delta T = T-T_0.
  1. Deformação térmica livre (sem restrição):
  • A deformação (vareção relativa) causada pela temperatura é \varepsilon_{\text{th}} = \alpha\Delta T.
    • Interpretação: se o corpo pudesse expandir livremente ele alongaria uma fração \varepsilon_{\text{th}} do seu comprimento.
  1. Se o corpo é totalmente restringido (não pode mudar comprimento), a deformação total é zero; então aparece uma deformação mecânica de sinal oposto:
  • \varepsilon_{\text{mech}} = -\varepsilon_{\text{th}} = -\alpha\Delta T.
  1. Lei de Hooke (para tensões elásticas lineares):
  • Relação tensão-deformação: \sigma = E\,\varepsilon_{\text{mech}}.
    • \sigma é a tensão (positiva para tração, negativa para compressão);
    • E é o módulo de elasticidade (mesma unidade de \sigma).
Assim, para uma barra totalmente restringida aquecida, a tensão produzida é
\sigma = -E\alpha\Delta T,
ou em módulo |\sigma| = E\alpha\Delta T.

Passo 3

Resolução detalhada da Parte 2.5-1 (tensão nos trilhos):
  1. Identifico a variação de temperatura:
\Delta T = T - T_0 = 52^\circ\mathrm{C} - 10^\circ\mathrm{C} = 42^\circ\mathrm{C}.
  1. Aplico a fórmula da tensão para barra totalmente presa:
\sigma = -E\alpha\Delta T.
  • Explico: o sinal negativo indica que a barra fica comprimida (tenta se expandir, mas é impedida).
  1. Substituo os valores (atenção às unidades; E em Pa):
E = 200\\ \mathrm{GPa} = 200\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \qquad \alpha = 12\times 10^{-6}/{^\circ\mathrm{C}}, \qquad \Delta T = 42^\circ\mathrm{C}.
  1. Calculo passo a passo:
\alpha\Delta T = 12\times 10^{-6}\times 42 = 504\times 10^{-6} = 5{,}04\times 10^{-4}.
\sigma = -\bigl(200\times 10^{9}\bigr)\times\bigl(5{,}04\times 10^{-4}\bigr) = -1{,}008\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Faço a conversão para MPa (mais usual):
1{,}008\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa} = 100{,}8\\ \mathrm{MPa}.
  1. Interpretação final: a tensão é compressiva e tem módulo 100{,}8\\ \mathrm{MPa}. (Na prova escreva com o sinal negativo para indicar compressão: \sigma=-100{,}8\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 4

Conceitos úteis e verificação rápida (curtinho, para fixar):
  • Se o trilho pudesse expandir livremente, a fração de alongamento seria \varepsilon_{\text{th}}=5{,}04\times 10^{-4}, ou seja, 0{,}0504\% — muito pequena, mas suficiente para gerar grande tensão quando impedida.
  • A mesma fórmula funciona para qualquer barra presa: multiplica-se \alpha\Delta T por E.

Passo 5

Resolução detalhada da Parte 2.5-2 (quando o alumínio será 15 mm mais longo que o aço):
  1. Primeiro, padronizo unidades: como as diferenças pedidas estão em milímetros, converto o comprimento inicial do alumínio para milímetros:
L_{a0} = 60\\ \mathrm{m} = 60{,}0\\ \mathrm{m} = 60{,}0\times 1000\\ \mathrm{mm} = 60000\\ \mathrm{mm}.
  1. O comprimento inicial do aço (à mesma temperatura 10^\circ\mathrm{C}) é dado como 5\\ \mathrm{mm} maior:
L_{s0} = L_{a0} + 5\\ \mathrm{mm} = 60000\\ \mathrm{mm} + 5\\ \mathrm{mm} = 60005\\ \mathrm{mm}.
  1. Escrevo as expressões de comprimento à temperatura T:
L_a(T) = L_{a0}\bigl[1 + \alpha_a (T-T_0)\bigr], \qquad L_s(T) = L_{s0}\bigl[1 + \alpha_s (T-T_0)\bigr].
  1. Condição pedida:
L_a(T) - L_s(T) = 15\\ \mathrm{mm}.
  1. Substituo as expressões:
L_{a0}\bigl[1 + \alpha_a\Delta T\bigr] - L_{s0}\bigl[1 + \alpha_s\Delta T\bigr] = 15\\ \mathrm{mm},
onde \Delta T = T - T_0 e T_0=10^\circ\mathrm{C}.
  1. Desenvolvo a equação (vou isolar \Delta T):
L_{a0} - L_{s0} + \bigl(L_{a0}\alpha_a - L_{s0}\alpha_s\bigr)\Delta T = 15.
  1. Note que L_{a0}-L_{s0} = -5\\ \mathrm{mm} (porque o aço é 5 mm mais longo inicialmente), então:
-5 + \bigl(L_{a0}\alpha_a - L_{s0}\alpha_s\bigr)\Delta T = 15.
  1. Isolo \Delta T:
\bigl(L_{a0}\alpha_a - L_{s0}\alpha_s\bigr)\Delta T = 20\\ \mathrm{mm}.
  1. Calculo os coeficientes numéricos:
L_{a0}\alpha_a = 60000\times 23\times 10^{-6} = 60000\times 0{,}000023 = 1{,}38\\ \mathrm{mm}/^\circ\mathrm{C},
L_{s0}\alpha_s = 60005\times 12\times 10^{-6} = 60005\times 0{,}000012 = 0{,}72006\\ \mathrm{mm}/^\circ\mathrm{C}.
  1. Diferença:
L_{a0}\alpha_a - L_{s0}\alpha_s = 1{,}38 - 0{,}72006 = 0{,}65994\\ \mathrm{mm}/^\circ\mathrm{C}.
  1. Agora calculo \Delta T:
\Delta T = \frac{20}{0{,}65994}\\ ^\circ\mathrm{C} \approx 30{,}304\\ ^\circ\mathrm{C}.
  1. Finalmente a temperatura T procurada:
T = T_0 + \Delta T = 10^\circ\mathrm{C} + 30{,}304^\circ\mathrm{C} \approx 40{,}304^\circ\mathrm{C}.
  1. Arredondamento razoável para a resposta (duas casas decimais ou uma casa): T\approx 40{,}30^\circ\mathrm{C}. Interpretação: a partir de cerca de 40{,}3^\circ\mathrm{C} o alumínio ficará 15\\ \mathrm{mm} mais longo que o aço, devido ao coeficiente de expansão maior do alumínio.

Resposta

\sigma = -100{,}8\\ \mathrm{MPa} (compressão nos trilhos quando aquecidos a 52^\circ\mathrm{C}).
T \approx 40{,}30^\circ\mathrm{C} (temperatura em que o alumínio será 15\\ \mathrm{mm} mais longo que o aço).

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