2.5-1 Os trilhos de uma ferrovia estão soldados em suas extremidades (para formar trilhos contínuos e, dessa forma, eliminar o ruído de impacto das rodas) quando a temperatura é
.
Qual é o valor da tensão de compressão produzida nos trilhos quando eles são aquecidos pelo sol até
, para o coeficiente de expansão térmica
e o módulo de clasticidade
?
2.5-2 Um tubo de alumínio tem um comprimento de 60 m a uma temperatura de
. Um tubo de aço adjacente à mesma temperatura é 5 mm mais longo que o tubo de alumínio.
A que temperatura (graus Celsius) o tubo de alumínio será 15 mm mais longo que o tubo de aço? (Assuma que os coeficientes de expansão térmica do alumínio e do aço sejam
e
, respectivamente.)
2.5-2 Um tubo de alumínio tem um comprimento de 60 m a uma temperatura de
Passo 1
Enunciados e dados importantes (vou separar as duas partes claramente):
Parte 2.5-1 — o que se pede:
- Pergunta: Qual é a tensão de compressão produzida nos trilhos quando a temperatura sobe de
para ? - Dados fornecidos:
(coeficiente de expansão térmica),
(módulo de elasticidade),
temperatura inicial,
temperatura final. - Observação importante: os trilhos estão soldados nas extremidades (impedem expansão livre), logo haverá tensão quando a peça tenta se expandir.
Parte 2.5-2 — o que se pede:
- Pergunta: A que temperatura (em graus Celsius) o tubo de alumínio será
mais longo que o tubo de aço? - Dados fornecidos:
comprimento do alumínio à temperatura: ,
à mesma temperatura o tubo de aço émais longo que o alumínio (ou seja ),
coeficientes:(alumínio) e (aço),
temperatura de referência. - Objetivo: encontrar
tal que .
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais — parte teórica que vou usar (bem passo a passo, como na prova).
- Dilatação linear (quando o material é livre para expandir):
- Fórmula:
- Aqui
é o comprimento à temperatura de referência ; -
é o coeficiente de expansão linear (por grau Celsius); -
é a nova temperatura; -
.
- Aqui
- Deformação térmica livre (sem restrição):
- A deformação (vareção relativa) causada pela temperatura é
- Interpretação: se o corpo pudesse expandir livremente ele alongaria uma fração
do seu comprimento.
- Interpretação: se o corpo pudesse expandir livremente ele alongaria uma fração
- Se o corpo é totalmente restringido (não pode mudar comprimento), a deformação total é zero; então aparece uma deformação mecânica de sinal oposto:
- Lei de Hooke (para tensões elásticas lineares):
- Relação tensão-deformação:
-
é a tensão (positiva para tração, negativa para compressão); -
é o módulo de elasticidade (mesma unidade de ).
-
Assim, para uma barra totalmente restringida aquecida, a tensão produzida é
ou em módulo
.
Passo 3
Resolução detalhada da Parte 2.5-1 (tensão nos trilhos):
- Identifico a variação de temperatura:
- Aplico a fórmula da tensão para barra totalmente presa:
- Explico: o sinal negativo indica que a barra fica comprimida (tenta se expandir, mas é impedida).
- Substituo os valores (atenção às unidades;
em Pa):
- Calculo passo a passo:
- Faço a conversão para MPa (mais usual):
- Interpretação final: a tensão é compressiva e tem módulo
. (Na prova escreva com o sinal negativo para indicar compressão: .)
Passo 4
Conceitos úteis e verificação rápida (curtinho, para fixar):
- Se o trilho pudesse expandir livremente, a fração de alongamento seria
, ou seja, — muito pequena, mas suficiente para gerar grande tensão quando impedida. - A mesma fórmula funciona para qualquer barra presa: multiplica-se
por .
Passo 5
Resolução detalhada da Parte 2.5-2 (quando o alumínio será 15 mm mais longo que o aço):
- Primeiro, padronizo unidades: como as diferenças pedidas estão em milímetros, converto o comprimento inicial do alumínio para milímetros:
- O comprimento inicial do aço (à mesma temperatura
) é dado como maior:
- Escrevo as expressões de comprimento à temperatura
:
- Condição pedida:
- Substituo as expressões:
onde
e
.
- Desenvolvo a equação (vou isolar
):
- Note que
(porque o aço é 5 mm mais longo inicialmente), então:
- Isolo
:
- Calculo os coeficientes numéricos:
- Diferença:
- Agora calculo
:
- Finalmente a temperatura
procurada:
- Arredondamento razoável para a resposta (duas casas decimais ou uma casa):
. Interpretação: a partir de cerca de o alumínio ficará mais longo que o aço, devido ao coeficiente de expansão maior do alumínio.