Qual é a lei fundamental do engrenamento?
Passo 1
O que o enunciado pede: definir claramente a lei fundamental do engrenamento.
Informações relevantes (implícitas na pergunta): tratamos de duas engrenagens em contato que transmitem movimento por meio dos dentes; existe um ponto de contato entre os dentes e uma normal comum a esses dentes nesse ponto.
Informações relevantes (implícitas na pergunta): tratamos de duas engrenagens em contato que transmitem movimento por meio dos dentes; existe um ponto de contato entre os dentes e uma normal comum a esses dentes nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos definir termos importantes de forma bem direta e sem blablabla técnico demais. Seja duas engrenagens com centros
e
. O ponto onde dois dentes se tocam chamaremos de
. A “normal comum” em
é a reta que é normal (perpendicular) às superfícies dos dentes em
e que passa por
. A “circunferência primitiva” (ou círculo primitivo) de cada engrenagem é a circunferência imaginária que define o contato ideal de rolagem entre as engrenagens; o ponto onde essas duas circunferências primitivas se tocam chamamos de ponto primitivo
(também chamado ponto de tangência das primitivas). Aqui só estou descrevendo o que cada nome significa para você visualizar.
Passo 3
Agora a ideia física: para que a razão entre as velocidades angulares das engrenagens seja constante (ou seja, para que a transmissão seja com razão fixa e não “escorregue”), a componente da velocidade na direção do movimento tangencial no ponto de contato tem que ser compatível entre as duas engrenagens. Uma maneira simples de garantir isso geometricamente é exigir que a normal comum em
passe sempre por
(o ponto primitivo). Essa é a peça central da lei — a posição da normal comum.
Passo 4
Vamos transformar a ideia em fórmula — bem mastigado. Denote por
e
as velocidades angulares das engrenagens 1 e 2, e por
e
os raios primitivos (as distâncias de
a
e de
a
, respectivamente). Se a normal comum em
passa por
, então
é o ponto instantâneo onde as duas curvas primitiva “rolam” uma sobre a outra. A velocidade linear de
gerada pela rotação da engrenagem 1 é
e a velocidade linear de
gerada pela rotação da engrenagem 2 (no sentido oposto) é
Como
é um ponto comum de contato instantâneo, essas velocidades devem ter mesma magnitude. Portanto temos a igualdade
Passo 5
Dessa igualdade vem a forma mais usada da lei: a razão entre as velocidades angulares é constante e igual à razão dos raios primitivos inversa. Ou seja,
que é uma relação fixa enquanto a normal comum em
continuar passando por
. Essa condição geométrica (normal passando por
) é justamente a “lei” — ela garante que a transmissão tenha razão constante durante todo o contato dos dentes.
Passo 6
Interpretação prática e consequências (úteis para a prova):
- Se a lei for cumprida, não há variação da razão de transmissão durante o engate dos dentes; o movimento é transmitido com razão fixa.
- Para perfis de dente bem projetados (por exemplo, perfis involutos), a normal comum em todo ponto de contato passa pelo ponto primitivo, então esses perfis cumprem automaticamente a lei — por isso o involuto é tão usado.
- Exemplo numérico rápido: se
mm e mm, então . A engrenagem 1 gira com o dobro da velocidade angular da 2.
Resposta
A lei fundamental do engrenamento diz que a normal comum ao ponto de contato dos dentes deve passar sempre pelo ponto primitivo
; isso garante que
ou, equivalentemente,
ou seja, a razão de transmissão é constante.