Qual é a lei fundamental do engrenamento?

Passo 1

O que o enunciado pede: definir claramente a lei fundamental do engrenamento.
Informações relevantes (implícitas na pergunta): tratamos de duas engrenagens em contato que transmitem movimento por meio dos dentes; existe um ponto de contato entre os dentes e uma normal comum a esses dentes nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir termos importantes de forma bem direta e sem blablabla técnico demais. Seja duas engrenagens com centros O_1 e O_2. O ponto onde dois dentes se tocam chamaremos de C. A “normal comum” em C é a reta que é normal (perpendicular) às superfícies dos dentes em C e que passa por C. A “circunferência primitiva” (ou círculo primitivo) de cada engrenagem é a circunferência imaginária que define o contato ideal de rolagem entre as engrenagens; o ponto onde essas duas circunferências primitivas se tocam chamamos de ponto primitivo P (também chamado ponto de tangência das primitivas). Aqui só estou descrevendo o que cada nome significa para você visualizar.

Passo 3

Agora a ideia física: para que a razão entre as velocidades angulares das engrenagens seja constante (ou seja, para que a transmissão seja com razão fixa e não “escorregue”), a componente da velocidade na direção do movimento tangencial no ponto de contato tem que ser compatível entre as duas engrenagens. Uma maneira simples de garantir isso geometricamente é exigir que a normal comum em C passe sempre por P (o ponto primitivo). Essa é a peça central da lei — a posição da normal comum.

Passo 4

Vamos transformar a ideia em fórmula — bem mastigado. Denote por \omega_1 e \omega_2 as velocidades angulares das engrenagens 1 e 2, e por r_1 e r_2 os raios primitivos (as distâncias de O_1 a P e de O_2 a P, respectivamente). Se a normal comum em C passa por P, então P é o ponto instantâneo onde as duas curvas primitiva “rolam” uma sobre a outra. A velocidade linear de P gerada pela rotação da engrenagem 1 é
v = \omega_1\, r_1,
e a velocidade linear de P gerada pela rotação da engrenagem 2 (no sentido oposto) é
v = \omega_2\, r_2.
Como P é um ponto comum de contato instantâneo, essas velocidades devem ter mesma magnitude. Portanto temos a igualdade
\omega_1\, r_1 = \omega_2\, r_2.

Passo 5

Dessa igualdade vem a forma mais usada da lei: a razão entre as velocidades angulares é constante e igual à razão dos raios primitivos inversa. Ou seja,
\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{r_2}{r_1},
que é uma relação fixa enquanto a normal comum em C continuar passando por P. Essa condição geométrica (normal passando por P) é justamente a “lei” — ela garante que a transmissão tenha razão constante durante todo o contato dos dentes.

Passo 6

Interpretação prática e consequências (úteis para a prova):
  • Se a lei for cumprida, não há variação da razão de transmissão durante o engate dos dentes; o movimento é transmitido com razão fixa.
  • Para perfis de dente bem projetados (por exemplo, perfis involutos), a normal comum em todo ponto de contato passa pelo ponto primitivo, então esses perfis cumprem automaticamente a lei — por isso o involuto é tão usado.
  • Exemplo numérico rápido: se r_1=20 mm e r_2=40 mm, então \dfrac{\omega_1}{\omega_2}=\dfrac{40}{20}=2. A engrenagem 1 gira com o dobro da velocidade angular da 2.

Resposta

A lei fundamental do engrenamento diz que a normal comum ao ponto de contato dos dentes deve passar sempre pelo ponto primitivo P; isso garante que
\omega_1\, r_1=\omega_2\, r_2
ou, equivalentemente,
\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{r_2}{r_1},
ou seja, a razão de transmissão é constante.

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