Um tubo de aço A-36 sem costura com diâmetro nominal de 33,4 \mathrm{~mm} com 5,0 \mathrm{~m} de comprimento com 4,6 \mathrm{~mm} de espessura será utilizado estruturalmente como pilar, afixado estruturalmente por pinos de aço. Determine a carga axial máxima admissível com a qual a coluna pode sofrer flambagem. Sendo módulo de elasticidade \mathrm{E}=210 \mathrm{Gpa}. Tensão de escoamento \sigma \mathrm{e}=250 \mathrm{Mpa} ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a carga axial máxima admissível para a coluna de tubo que fará a coluna sofrer flambagem (ou seja, a carga crítica de flambagem).
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades e em notação matemática):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro externo: } D = 33{,}4\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{Espessura: } t = 4{,}6\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{Comprimento: } L = 5{,}0\\ \mathrm{m} = 5000\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{Módulo de elasticidade: } E = 210\\ \mathrm{GPa} = 210000\\ \mathrm{N/mm^2},\\\ &\text{Tensão de escoamento: } \sigma_e = 250\\ \mathrm{MPa} = 250\\ \mathrm{N/mm^2}. \end{aligned}âóã
Condições de apoio: o enunciado diz “afixado estruturalmente por pinos de aço” — isto indica apoios articulados nas duas extremidades (pinos em ambas as extremidades). Portanto o fator de comprimento efetivo é
K=1.

Passo 2

Primeiro passo prático: obter as propriedades da seção tubular (circulação sem costura — anel circular). Calcular diâmetro interno d, área da seção transversal A e momento de inércia I (em relação ao eixo neutro):
Diâmetro interno:
d = D - 2t = 33{,}4 - 2\cdot 4{,}6 = 24{,}2\\ \mathrm{mm}.
Área da seção tubular (área do anel):
A = \frac{\pi}{4}\bigl(D^2 - d^2\bigr).
Vamos calcular:
D^2 = 33{,}4^2 = 1115{,}56,\qquad d^2 = 24{,}2^2 = 585{,}64,
D^2-d^2 = 529{,}92,
A = \frac{\pi}{4}\cdot 529{,}92 \approx 0{,}785398\cdot 529{,}92 \approx 416{,}0\\ \mathrm{mm^2}.
Momento de inércia da seção circular oca (em torno do eixo que passa pelo centro, por exemplo eixo x que é relevante para flambagem em qualquer direção para seção circular):
I = \frac{\pi}{64}\bigl(D^4 - d^4\bigr).
Cálculos intermediários:
D^4 = (D^2)^2 = 1115{,}56^2 \approx 1{,}244{,}519,\qquad d^4 = 585{,}64^2 \approx 342{,}976,
D^4 - d^4 \approx 901{,}543,
I \approx \frac{\pi}{64}\cdot 901{,}543 \approx 0{,}0490874\cdot 901{,}543 \approx 44\,270\\ \mathrm{mm^4}.
(Arredondei para três algarismos significativos quando cabível.)

Passo 3

Calcular o raio de giração r e a esbeltez (razão de esbeltez) \lambda, para verificar se a flambagem segue a fórmula de Euler ou se a resistência à compressão por escoamento é mais restritiva.
Raio de giração:
r = \sqrt{\frac{I}{A}}.
Substituindo os valores:
r \approx \sqrt{\frac{44\,270}{416{,}0}} \approx \sqrt{106{,}4} \approx 10{,}32\\ \mathrm{mm}.
Razão de esbeltez:
\lambda = \frac{K L}{r} = \frac{1\cdot 5000}{10{,}32} \approx 484{,}5.

Passo 4

Determinar se a coluna está no regime de flambagem elástica de Euler. Para isso usamos o parâmetro crítico de esbeltez
\lambda_c = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_e}}.
Calculemos:
\frac{E}{\sigma_e} = \frac{210000}{250} = 840,\qquad \sqrt{840}\approx 28{,}98,
\lambda_c = \pi\cdot 28{,}98 \approx 91{,}0.
Comparando:
\lambda \approx 484{,}5 \quad\text{e}\quad \lambda_c \approx 91{,}0.
Como \lambda \gg \lambda_c, a coluna é muito esbelta e a flambagem elástica de Euler domina. Logo podemos usar a fórmula de Euler para a carga crítica.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Euler para a carga crítica de flambagem:
P_\text{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}.
Substituindo valores (usar E=210000\\ \mathrm{N/mm^2}, I\approx 44\,270\\ \mathrm{mm^4}, K L = 5000\\ \mathrm{mm}):
P_\text{cr} \approx \frac{\pi^2\cdot 210000\cdot 44\,270}{5000^2}.
Calculemos numericamente:
\pi^2 \approx 9{,}8696,\qquad 210000\cdot 44\,270 \approx 9{,}294{,}000{,}000,
\text{numerador} \approx 9{,}8696\cdot 9{,}294{,}000{,}000 \approx 9{,}1715\cdot 10^{10},
5000^2 = 25\cdot 10^{6},
P_\text{cr} \approx \frac{9{,}1715\cdot 10^{10}}{25\cdot 10^{6}} \approx 3{,}67\cdot 10^{3}\\ \mathrm{N}.
Portanto
P_\text{cr}\approx 3{,}67\times 10^{3}\\ \mathrm{N} = 3{,}67\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Comparação com a capacidade última por escoamento (caso a coluna não flambasse):
P_{y}=A\cdot \sigma_e \approx 416{,}0\\ \mathrm{mm^2}\cdot 250\\ \mathrm{N/mm^2}\approx 104{,}000\\ \mathrm{N}=104\\ \mathrm{kN}.
Como P_\text{cr}=3{,}67\\ \mathrm{kN}\ll P_{y}=104\\ \mathrm{kN}, a flambagem (Euler) controla a carga admissível.

Resposta

P_\text{adm}=3{,}67\\ \mathrm{kN}

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